コクラン検定

二項分布の期待値と分散の公式より、曝露群について、 $$\begin{array}{r}E\left(a\right)=n_1\pi V\left(a\right)=n_1\pi (1-\pi )\end{array}$$ 二項分布の正規近似により、曝露群の発症人数 $a$ は漸近的に $$\begin{array}{r}a\sim \mathrm{N}[E\left(a\right),V\left(a\right)]\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ したがって、曝露群の発症人数の期待値と分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{E}\left(a\right)=\frac{m_1{n}_1}{N}\hat{V}\left(a\right)=\frac{m_1{m}_0{n}_1}{N^2}\end{array}$$ 同様に、非曝露群については、 $$\begin{array}{c}E\left(b\right)=n_0\pi V\left(b\right)=n_0\pi (1-\pi )\\ \hat{E}\left(b\right)=\frac{m_1{n}_0}{N}\hat{V}\left(b\right)=\frac{m_1{m}_0{n}_0}{N^2}\end{array}$$

実測値と期待値の一致推定量の差は、 $$\begin{array}{rl}a-\hat{E}\left(a\right)& =a-\frac{m_1{n}_1}{N}\\ & =\frac{a(n_1+n_0)-m_1{n}_1}{N}\\ & =\frac{n_{0}a+n_1(a-m_1)}{N}\\ & =\frac{n_{0}a-n_{1}b}{N}\end{array}$$ 両辺の分散を取ると、分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}V[a-\hat{E}\left(a\right)]& =V\left[\frac{n_{0}a-n_{1}b}{N}\right]\\ & =\frac{n_0^{2}V\left(a\right)+n_1^{2}V\left(b\right)}{N^2}\\ & =\frac{n_0^2{n}_1\pi (1-\pi )+n_1^2{n}_0\pi (1-\pi )}{N^2}\\ & =\frac{n_1{n}_0(n_1+n_0)\pi (1-\pi )}{N^2}\\ & =\frac{n_1{n}_0\pi (1-\pi )}{N}\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ を標本共通比率で置き換えると、差の分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}\hat{V}[a-\hat{E}\left(a\right)]& =\frac{n_1{n}_0}{N}\cdot \frac{m_1}{N}\cdot \frac{m_0}{N}\\ & =\frac{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}{N^3}\end{array}$$ したがって、標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}\frac{a-\hat{E}\left(a\right)}{\sqrt{\hat{V}[a-\hat{E}\left(a\right)]}}=Z_0\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の定義より、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_{\mathrm{C}}^2& =\frac{{[a-\hat{E}\left(a\right)]}^2}{\hat{V}[a-\hat{E}\left(a\right)]}\\ & =\frac{{\left(\frac{n_{0}a-n_{1}b}{N}\right)}^2}{\frac{n_1{n}_0{m}_1{m}_0}{N^3}}\end{array}$$ これは、 $$\begin{array}{r}{\chi }_{\mathrm{C}}^2\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ $◼$