コクラン検定

二項分布の期待値と分散の公式より、曝露群について、 \begin{align} E \left(a\right)=n_1\pi \quad V \left(a\right)=n_1\pi \left(1-\pi\right) \end{align} 二項分布の正規近似により、曝露群の発症人数 $a$ は漸近的に \begin{align} a \sim \mathrm{N} \left[E \left(a\right),V \left(a\right)\right] \end{align} 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 \begin{align} \hat{\pi}=\frac{m_1}{N} \end{align} したがって、曝露群の発症人数の期待値と分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{E} \left(a\right)=\frac{m_1n_1}{N} \quad \hat{V} \left(a\right)=\frac{m_1m_0n_1}{N^2} \end{align} 同様に、非曝露群については、 \begin{gather} E \left(b\right)=n_0\pi \quad V \left(b\right)=n_0\pi \left(1-\pi\right)\\ \hat{E} \left(b\right)=\frac{m_1n_0}{N} \quad \hat{V} \left(b\right)=\frac{m_1m_0n_0}{N^2} \end{gather}

実測値と期待値の一致推定量の差は、 \begin{align} a-\hat{E} \left(a\right)&=a-\frac{m_1n_1}{N}\\ &=\frac{a \left(n_1+n_0\right)-m_1n_1}{N}\\ &=\frac{n_0a+n_1 \left(a-m_1\right)}{N}\\ &=\frac{n_0a-n_1b}{N} \end{align} 両辺の分散を取ると、分散の性質より、 \begin{align} V \left[a-\hat{E} \left(a\right)\right]&=V \left[\frac{n_0a-n_1b}{N}\right]\\ &=\frac{n_0^2V \left(a\right)+n_1^2V \left(b\right)}{N^2}\\ &=\frac{n_0^2n_1\pi \left(1-\pi\right)+n_1^2n_0\pi \left(1-\pi\right)}{N^2}\\ &=\frac{n_1n_0 \left(n_1+n_0\right)\pi \left(1-\pi\right)}{N^2}\\ &=\frac{n_1n_0\pi \left(1-\pi\right)}{N} \end{align} 共通の母比率 $\pi$ を標本共通比率で置き換えると、差の分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left[a-\hat{E} \left(a\right)\right]&=\frac{n_1n_0}{N} \cdot \frac{m_1}{N} \cdot \frac{m_0}{N}\\ &=\frac{n_1n_0m_1m_0}{N^3} \end{align} したがって、標準化変換の性質より、 \begin{align} \frac{a-\hat{E} \left(a\right)}{\sqrt{\hat{V} \left[a-\hat{E} \left(a\right)\right]}}=Z_0 \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} $\chi^2$分布の定義より、 \begin{align} \chi_{\mathrm{C}}^2&=\frac{ \left[a-\hat{E} \left(a\right)\right]^2}{\hat{V} \left[a-\hat{E} \left(a\right)\right]}\\ &=\frac{ \left(\frac{n_0a-n_1b}{N}\right)^2}{\frac{n_1n_0m_1m_0}{N^3}} \end{align} これは、 \begin{align} \chi_{\mathrm{C}}^2 \sim \chi^2 \left(1\right) \end{align} $\blacksquare$