ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.10 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.10」の自作解答例です。マッチングされたコホート研究とケース・コントロール研究の同等性に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題5.10.1：前向き対称性の帰無仮説と後ろ向き対称性の帰無仮説の同等性

マッチングされたケース・コントロール研究の分割表より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\pi }_{ED}={\pi }_{11}+{\pi }_{12}={\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}={\varphi }_{DE}\text{(2)}& {\pi }_{\overline{E}D}={\pi }_{11}+{\pi }_{21}={\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}={\varphi }_{D\overline{E}}\text{(3)}& {\pi }_{E\overline{D}}={\pi }_{21}+{\pi }_{22}={\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}={\varphi }_{\overline{D}E}\text{(4)}& {\pi }_{\overline{E}\overline{D}}={\pi }_{12}+{\pi }_{22}={\varphi }_{12}+{\varphi }_{22}={\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\end{array}$$ 〔1〕後ろ向き→前向きの同等性
後ろ向きの帰無仮説が成り立つとき、式 $(1),(3)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff {\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}& ={\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}\\ \iff {\varphi }_{12}& ={\varphi }_{21}\end{array}$$ 同時に、式 $(1),(3)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff {\pi }_{ED}& ={\pi }_{E\overline{D}}\\ \text{(5)}& \iff {\pi }_{11}+{\pi }_{12}& ={\pi }_{21}+{\pi }_{22}\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{r}{\varphi }_{DE}=1-{\varphi }_{D\overline{E}}{\varphi }_{\overline{D}E}=1-{\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\end{array}$$ という関係があるので、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff 1-{\varphi }_{D\overline{E}}& =1-{\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\\ \iff {\varphi }_{D\overline{E}}& ={\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\end{array}$$ 式 $(2),(4)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff {\pi }_{\overline{E}D}& ={\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\\ \iff {\pi }_{11}+{\pi }_{21}& ={\pi }_{12}+{\pi }_{22}\\ \text{(6)}& \iff {\pi }_{11}& ={\pi }_{22}\end{array}$$ 式 $(5),(6)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{11}+{\pi }_{12}& ={\pi }_{21}+{\pi }_{22}\\ \iff {\pi }_{12}& ={\pi }_{21}\end{array}$$ 〔2〕前向き→後ろ向きの同等性
前向きの帰無仮説が成り立つとき、式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff {\pi }_{11}+{\pi }_{12}& ={\pi }_{11}+{\pi }_{21}\\ \iff {\pi }_{12}& ={\pi }_{22}\end{array}$$ 同時に、式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff {\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{D\overline{E}}\\ \text{(7)}& \iff {\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}& ={\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{r}{\pi }_{ED}=1-{\pi }_{E\overline{D}}{\pi }_{\overline{E}D}=1-{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\end{array}$$ という関係があるので、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff 1-{\pi }_{E\overline{D}}& =1-{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\\ \iff {\pi }_{E\overline{D}}& ={\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\end{array}$$ 式 $(3),(4)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff {\pi }_{E\overline{D}}& ={\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\\ \text{(8)}& \iff {\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}& ={\varphi }_{12}+{\varphi }_{22}\end{array}$$ 式 $(7)-(8)$ より、 $$\begin{array}{c}{\varphi }_{12}-{\varphi }_{21}={\varphi }_{21}-{\varphi }_{12}\\ 2{\varphi }_{12}=2{\varphi }_{21}\\ {\varphi }_{12}={\varphi }_{21}\end{array}$$ $◼$

問題5.10.2：前向き条件付き発症オッズ比と後ろ向き条件付き曝露オッズ比の同等性

式 $(1)\sim (4)$ と後ろ向き条件付き曝露オッズ比の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}& =\frac{{\varphi }_{DE}}{{\varphi }_{D\overline{E}}}\cdot \frac{{\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}}{{\varphi }_{\overline{D}E}}\\ & =\frac{{\pi }_{ED}}{{\pi }_{\overline{E}D}}\cdot \frac{{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}}{{\pi }_{E\overline{D}}}\\ & =\frac{{\pi }_{ED}}{{\pi }_{E\overline{D}}}\cdot \frac{{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}}{{\pi }_{\overline{E}D}}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Prosp}}\end{array}$$ $◼$

問題5.10.3：前向き条件付きリスク比と後ろ向き条件付きリスク比の関係①

共変量の値が $z$ のときのリスク比は、定義式より、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{RR}}_{\mathrm{z}}& =\frac{P\left(D\right|E,z)}{P\left(D\right|\overline{E},z)}\\ & =\frac{P(D\cap E|z)}{P\left(E\right|z)}÷\frac{P(D\cap \overline{E}|z)}{P\left(\overline{E}\right|z)}\\ & =\frac{P(D\cap E|z)\cdot P\left(\overline{E}\right|z)}{P(D\cap \overline{E}|z)\cdot P\left(E\right|z)}\\ & =\frac{P\left(E\right|D,z)\cdot [P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot P\left(D\right|z)+P\left(\overline{E}\right|\overline{D},z)\cdot P\left(\overline{D}\right|z)]}{P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot [P\left(E\right|D,z)\cdot P\left(D\right|z)+P\left(E\right|\overline{D},z)\cdot P\left(\overline{D}\right|z)]}\\ & =\frac{P\left(E\right|D,z)\cdot [P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot P\left(D\right|z)+P\left(\overline{E}\right|\overline{D},z)\{1-P\left(D\right|z)\}]}{P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot [P\left(E\right|D,z)\cdot P\left(D\right|z)+P\left(E\right|\overline{D},z)\{1-P\left(D\right|z)\}]}\\ & =\frac{P\left(E\right|D,z)\cdot P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot P\left(D\right|z)+P\left(E\right|D,z)\cdot P\left(\overline{E}\right|\overline{D},z)\{1-P\left(D\right|z)\}}{P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot P\left(E\right|D,z)\cdot P\left(D\right|z)+P\left(\overline{E}\right|D,z)\cdot P\left(E\right|\overline{D},z)\{1-P\left(D\right|z)\}}\end{array}$$ 共変量の値が $z$ のときの全体の発症確率を $P\left(D\right|z)={\delta }_z$ とおくと、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{RR}}_{\mathrm{z}}& =\frac{{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}\cdot {\delta }_z+{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}(1-{\delta }_z)}{{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}\cdot {\delta }_z+{\varphi }_{\overline{D}E}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}(1-{\delta }_z)}\\ & =\frac{{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}\cdot {\delta }_z+{\varphi }_{12}(1-{\delta }_z)}{{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}\cdot {\delta }_z+{\varphi }_{21}(1-{\delta }_z)}\end{array}$$ $◼$

問題5.10.4：前向き条件付きリスク比と後ろ向き条件付きリスク比の関係②

希少疾患 ${\delta }_z\to 0$ の仮定のもとで、 $$\begin{array}{rl}\underset{{\delta }_z\to 0}{lim}{\mathrm{RR}}_{\mathrm{z}}& =\frac{{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}\cdot 0+{\varphi }_{12}(1-0)}{{\varphi }_{DE}\cdot {\varphi }_{D\overline{E}}\cdot 0+{\varphi }_{21}(1-0)}\\ & =\frac{{\varphi }_{12}}{{\varphi }_{21}}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{C}\cdot \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{C}\cdot \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.260-261

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