本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.10」の自作解答例です。マッチングされたコホート研究とケース・コントロール研究の同等性に関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題5.10.1：前向き対称性の帰無仮説と後ろ向き対称性の帰無仮説の同等性
マッチングされたケース・コントロール研究の分割表より、
\begin{gather}
\pi_{ED}=\pi_{11}+\pi_{12}=\phi_{11}+\phi_{12}=\phi_{DE}\tag{1}\\
\pi_{\bar{E}D}=\pi_{11}+\pi_{21}=\phi_{21}+\phi_{22}=\phi_{D\bar{E}}\tag{2}\\
\pi_{E\bar{D}}=\pi_{21}+\pi_{22}=\phi_{11}+\phi_{21}=\phi_{\bar{D}E}\tag{3}\\
\pi_{\bar{E}\bar{D}}=\pi_{12}+\pi_{22}=\phi_{12}+\phi_{22}=\phi_{\bar{D}\bar{E}}\tag{4}
\end{gather}
〔1〕後ろ向き→前向きの同等性
後ろ向きの帰無仮説が成り立つとき、式 $(1),(3)$ より、
\begin{align}
\phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\
\Leftrightarrow\phi_{11}+\phi_{12}&=\phi_{11}+\phi_{21}\\
\Leftrightarrow\phi_{12}&=\phi_{21}
\end{align}
同時に、式 $(1),(3)$ より、
\begin{align}
\phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\
\Leftrightarrow\pi_{ED}&=\pi_{E\bar{D}}\\
\Leftrightarrow\pi_{11}+\pi_{12}&=\pi_{21}+\pi_{22}\tag{5}
\end{align}
また、
\begin{align}
\phi_{DE}=1-\phi_{D\bar{E}} \quad \phi_{\bar{D}E}=1-\phi_{\bar{D}\bar{E}}
\end{align}
という関係があるので、
\begin{align}
\phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\
\Leftrightarrow1-\phi_{D\bar{E}}&=1-\phi_{\bar{D}\bar{E}}\\
\Leftrightarrow\phi_{D\bar{E}}&=\phi_{\bar{D}\bar{E}}
\end{align}
式 $(2),(4)$ より、
\begin{align}
\phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\
\Leftrightarrow\pi_{\bar{E}D}&=\pi_{\bar{E}\bar{D}}\\
\Leftrightarrow\pi_{11}+\pi_{21}&=\pi_{12}+\pi_{22}\\
\Leftrightarrow\pi_{11}&=\pi_{22}\tag{6}
\end{align}
式 $(5),(6)$ より、
\begin{align}
\pi_{11}+\pi_{12}&=\pi_{21}+\pi_{22}\\
\Leftrightarrow\pi_{12}&=\pi_{21}
\end{align}
〔2〕前向き→後ろ向きの同等性
前向きの帰無仮説が成り立つとき、式 $(1),(2)$ より、
\begin{align}
\pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\
\Leftrightarrow\pi_{11}+\pi_{12}&=\pi_{11}+\pi_{21}\\
\Leftrightarrow\pi_{12}&=\pi_{22}
\end{align}
同時に、式 $(1),(2)$ より、
\begin{align}
\pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\
\Leftrightarrow\phi_{DE}&=\phi_{D\bar{E}}\\
\Leftrightarrow\phi_{11}+\phi_{12}&=\phi_{21}+\phi_{22}\tag{7}
\end{align}
また、
\begin{align}
\pi_{ED}=1-\pi_{E\bar{D}} \quad \pi_{\bar{E}D}=1-\pi_{\bar{E}\bar{D}}
\end{align}
という関係があるので、
\begin{align}
\pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\
\Leftrightarrow1-\pi_{E\bar{D}}&=1-\pi_{\bar{E}\bar{D}}\\
\Leftrightarrow\pi_{E\bar{D}}&=\pi_{\bar{E}\bar{D}}
\end{align}
式 $(3),(4)$ より、
\begin{align}
\pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\
\Leftrightarrow\pi_{E\bar{D}}&=\pi_{\bar{E}\bar{D}}\\
\Leftrightarrow\phi_{11}+\phi_{21}&=\phi_{12}+\phi_{22}\tag{8}
\end{align}
式 $(7)-(8)$ より、
\begin{gather}
\phi_{12}-\phi_{21}=\phi_{21}-\phi_{12}\\
2\phi_{12}=2\phi_{21}\\
\phi_{12}=\phi_{21}
\end{gather}
$\blacksquare$
問題5.10.2：前向き条件付き発症オッズ比と後ろ向き条件付き曝露オッズ比の同等性
式 $(1) \sim (4)$ と後ろ向き条件付き曝露オッズ比の定義式より、 \begin{align} \mathrm{{OR}_{Retro}}&=\frac{\phi_{DE}}{\phi_{D\bar{E}}} \cdot \frac{\phi_{\bar{D}\bar{E}}}{\phi_{\bar{D}E}}\\ &=\frac{\pi_{ED}}{\pi_{\bar{E}D}} \cdot \frac{\pi_{\bar{E}\bar{D}}}{\pi_{E\bar{D}}}\\ &=\frac{\pi_{ED}}{\pi_{E\bar{D}}} \cdot \frac{\pi_{\bar{E}\bar{D}}}{\pi_{\bar{E}D}}\\ &=\mathrm{{OR}_{Prosp}} \end{align} $\blacksquare$
問題5.10.3：前向き条件付きリスク比と後ろ向き条件付きリスク比の関係①
共変量の値が $z$ のときのリスク比は、定義式より、 \begin{align} \mathrm{{RR}_z}&=\frac{P \left(D\middle| E,z\right)}{P \left(D\middle|\bar{E},z\right)}\\ &=\frac{P \left(D\cap E\middle| z\right)}{P \left(E\middle| z\right)}\div\frac{P \left(D\cap\bar{E}\middle| z\right)}{P \left(\bar{E}\middle| z\right)}\\ &=\frac{P \left(D\cap E\middle| z\right) \cdot P \left(\bar{E}\middle| z\right)}{P \left(D\cap\bar{E}\middle| z\right) \cdot P \left(E\middle| z\right)}\\ &=\frac{P \left(E\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(\bar{E}\middle|\bar{D},z\right) \cdot P \left(\bar{D}\middle| z\right)\right]}{P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(E\middle|\bar{D},z\right) \cdot P \left(\bar{D}\middle| z\right)\right]}\\ &=\frac{P \left(E\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(\bar{E}\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}\right]}{P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(E\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}\right]}\\ &=\frac{P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(\bar{E}\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}}{P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(E\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}} \end{align} 共変量の値が $z$ のときの全体の発症確率を $P \left(D\middle| z\right)=\delta_z$ とおくと、 \begin{align} \mathrm{{RR}_z}&=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{DE} \cdot \phi_{\bar{D}\bar{E}} \left(1-\delta_z\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{\bar{D}E} \cdot \phi_{D\bar{E}} \left(1-\delta_z\right)}\\ &=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{12} \left(1-\delta_z\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{21} \left(1-\delta_z\right)} \end{align} $\blacksquare$
問題5.10.4：前向き条件付きリスク比と後ろ向き条件付きリスク比の関係②
希少疾患 $\delta_z\rightarrow0$ の仮定のもとで、 \begin{align} \lim_{\delta_z\rightarrow0}{\mathrm{{RR}_z}}&=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot 0+\phi_{12} \left(1-0\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot 0+\phi_{21} \left(1-0\right)}\\ &=\frac{\phi_{12}}{\phi_{21}}\\ &=\mathrm{{OR}_{C \cdot R e t r o}}\\ &=\mathrm{{OR}_{C \cdot P r o s p}} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.260-261
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