ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.3 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.3」の自作解答例です。マッチングされたペア内での相関に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題5.3.1：ペア内の共分散

全共分散の法則より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)=E\left[\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2|z)\right]+\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|z),E\left(Y_2\right|z)]\end{array}$$ ここで、$Y_1,Y_2$ は、$Z=z$ において条件付き独立 $\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2|z)=0$ なので、 $$\begin{array}{r}E\left[\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2|Z)\right]=E\left(0\right)=0\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|Z),E\left(Y_2\right|Z)]=E[E\left(y_{i1}\right|z)\cdot E\left(y_{i2}\right|z)]-E\left[E\left(y_{i1}\right|z)\right]\cdot E\left[E\left(y_{i2}\right|z)\right]\end{array}$$ また $E\left(Y_1\right|Z)=E\left(Y_2\right|Z)=\pi \left(z\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|Z),E\left(Y_2\right|Z)]=E\left[{\left\{\pi \left(z\right)\right\}}^2\right]-{\left[E\left\{\pi \left(z\right)\right\}\right]}^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|Z),E\left(Y_2\right|Z)]=V\left\{\pi \left(z\right)\right\}={\sigma }_{\pi }^2\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)={\sigma }_{\pi }^2\ne 0\end{array}$$ $◼$

問題5.3.2：応答値の分散

全分散の法則 $V\left(X\right)=E\left[V\left(X\right|Y)\right]+V\left[E\left(X\right|Y)\right]$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(Y_j\right)=E\left[V\left(Y_j\right|z)\right]+V\left[E\left(Y_j\right|z)\right]\end{array}$$ ベルヌーイ分布の分散の公式 $V\left(X\right)=p(1-p)$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y_j\right)& =E\left[{\pi }_z(1-{\pi }_z)\right]+V\left({\pi }_z\right)\\ & =E\left[{\pi }_z(1-{\pi }_z)\right]+{\sigma }_{\pi }^2\end{array}$$ $◼$

問題5.3.3：ペア内の相関係数（2値応答の場合）

相関係数の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{\rho }_{Y_1{Y}_2}& =\frac{\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)}{\sqrt{V\left(Y_1\right)}\sqrt{V\left(Y_2\right)}}\\ & =\frac{{\sigma }_{\pi }^2}{\sqrt{E\left[{\pi }_z(1-{\pi }_z)\right]+{\sigma }_{\pi }^2}\cdot \sqrt{E\left[{\pi }_z(1-{\pi }_z)\right]+{\sigma }_{\pi }^2}}\\ & =\frac{{\sigma }_{\pi }^2}{E\left[{\pi }_z(1-{\pi }_z)\right]+{\sigma }_{\pi }^2}\end{array}$$ $◼$

問題5.3.4：ペア内の相関係数（連続応答の場合）

〔1〕ペア内の共分散
全共分散の法則より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)=E\left[\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2|z)\right]+\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|z),E\left(Y_2\right|z)]\end{array}$$ ここで、$Y_1,Y_2$ は、$Z=z$ において条件付き独立 $\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2|z)=0$ なので、 $$\begin{array}{r}E\left[\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2|Z)\right]=E\left(0\right)=0\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|z),E\left(Y_2\right|z)]=E[E\left(y_{i1}\right|z)\cdot E\left(y_{i2}\right|z)]-E\left[E\left(y_{i1}\right|z)\right]\cdot E\left[E\left(y_{i2}\right|z)\right]\end{array}$$ また $E\left(Y_1\right|z)=E\left(Y_2\right|z)=u_z$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|z),E\left(Y_2\right|z)]=E\left(u_z^2\right)-{\left[E\left(u_z\right)\right]}^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}[E\left(Y_1\right|Z),E\left(Y_2\right|Z)]=V\left(u_z\right)\end{array}$$ したがって、$V\left(u_z\right)={\sigma }_u^2$ とすると、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)={\sigma }_u^2\ne 0\end{array}$$ 〔2〕応答値の分散
回帰式の分散を取ると、$u_z$ は定数なので、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y_j\right|z)& =V(u_z+{\epsilon }_{i1}|z)\\ & =V\left({\epsilon }_{i1}\right)\\ & ={\sigma }_{\epsilon }^2\end{array}$$ 全分散の法則 $V\left(X\right)=E\left[V\left(X\right|Y)\right]+V\left[E\left(X\right|Y)\right]$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y_j\right)& =E\left({\sigma }_{\epsilon }^2\right)+V\left(u_z\right)\\ & ={\sigma }_u^2+{\sigma }_{\epsilon }^2\end{array}$$ 〔3〕ペア内の相関係数
相関係数の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{\rho }_{Y_1{Y}_2}& =\frac{\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)}{\sqrt{V\left(Y_1\right)}\sqrt{V\left(Y_2\right)}}\\ & =\frac{{\sigma }_u^2}{\sqrt{{\sigma }_u^2+{\sigma }_{\epsilon }^2}\cdot \sqrt{{\sigma }_u^2+{\sigma }_{\epsilon }^2}}\\ & =\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_{\epsilon }^2+{\sigma }_u^2}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.258
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.223-224

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