本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.3」の自作解答例です。マッチングされたペア内での相関に関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
- デルタ法を用いる際、剰余項（2次の項）が漸近的に無視できる（$0$に確率収束する）と仮定しています。
- 上述の参考書では、標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_{1-\alpha}$ と表記していますが、本サイトでは、$Z_\alpha$ としています。そのため、参考書に載っている式の形式と異なる部分があります。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題5.3.1：ペア内の共分散
全共分散の法則より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\right)=E \left[\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\middle| z\right)\right]+\mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| z\right),E \left(Y_2\middle| z\right)\right] \end{align} ここで、$Y_1,Y_2$ は、$Z=z$ において条件付き独立 $\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\middle| z\right)=0$ なので、 \begin{align} E \left[\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\middle| Z\right)\right]=E \left(0\right)=0 \end{align} 共分散の公式 $\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=E \left(XY\right)-E \left(X\right)E \left(Y\right)$ より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| Z\right),E \left(Y_2\middle| Z\right)\right]=E \left[E \left(y_{i1}\middle| z\right) \cdot E \left(y_{i2}\middle| z\right)\right]-E \left[E \left(y_{i1}\middle| z\right)\right] \cdot E \left[E \left(y_{i2}\middle| z\right)\right] \end{align} また $E \left(Y_1\middle| Z\right)=E \left(Y_2\middle| Z\right)=\pi \left(z\right)$ より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| Z\right),E \left(Y_2\middle| Z\right)\right]=E \left[ \left\{\pi \left(z\right)\right\}^2\right]- \left[E \left\{\pi \left(z\right)\right\}\right]^2 \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| Z\right),E \left(Y_2\middle| Z\right)\right]=V \left\{\pi \left(z\right)\right\}=\sigma_\pi^2 \end{align} したがって、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\right)=\sigma_\pi^2 \neq 0 \end{align} $\blacksquare$
問題5.3.2：応答値の分散
全分散の法則 $V \left(X\right)=E \left[V \left(X\middle| Y\right)\right]+V \left[E \left(X\middle| Y\right)\right]$ より、 \begin{align} V \left(Y_j\right)=E \left[V \left(Y_j\middle| z\right)\right]+V \left[E \left(Y_j\middle| z\right)\right] \end{align} ベルヌーイ分布の分散の公式 $V \left(X\right)=p \left(1-p\right)$ より、 \begin{align} V \left(Y_j\right)&=E \left[\pi_z \left(1-\pi_z\right)\right]+V \left(\pi_z\right)\\ &=E \left[\pi_z \left(1-\pi_z\right)\right]+\sigma_\pi^2 \end{align} $\blacksquare$
問題5.3.3：ペア内の相関係数（2値応答の場合）
相関係数の定義式より、 \begin{align} \rho_{Y_1Y_2}&=\frac{\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\right)}{\sqrt{V \left(Y_1\right)}\sqrt{V \left(Y_2\right)}}\\ &=\frac{\sigma_\pi^2}{\sqrt{E \left[\pi_z \left(1-\pi_z\right)\right]+\sigma_\pi^2} \cdot \sqrt{E \left[\pi_z \left(1-\pi_z\right)\right]+\sigma_\pi^2}}\\ &=\frac{\sigma_\pi^2}{E \left[\pi_z \left(1-\pi_z\right)\right]+\sigma_\pi^2} \end{align} $\blacksquare$
問題5.3.4：ペア内の相関係数（連続応答の場合）
〔1〕ペア内の共分散
全共分散の法則より、
\begin{align}
\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\right)=E \left[\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\middle| z\right)\right]+\mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| z\right),E \left(Y_2\middle| z\right)\right]
\end{align}
ここで、$Y_1,Y_2$ は、$Z=z$ において条件付き独立 $\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\middle| z\right)=0$ なので、
\begin{align}
E \left[\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\middle| Z\right)\right]=E \left(0\right)=0
\end{align}
共分散の公式 $\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=E \left(XY\right)-E \left(X\right)E \left(Y\right)$ より、
\begin{align}
\mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| z\right),E \left(Y_2\middle| z\right)\right]=E \left[E \left(y_{i1}\middle| z\right) \cdot E \left(y_{i2}\middle| z\right)\right]-E \left[E \left(y_{i1}\middle| z\right)\right] \cdot E \left[E \left(y_{i2}\middle| z\right)\right]
\end{align}
また $E \left(Y_1\middle| z\right)=E \left(Y_2\middle| z\right)=u_z$ より、
\begin{align}
\mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| z\right),E \left(Y_2\middle| z\right)\right]=E \left(u_z^2\right)- \left[E \left(u_z\right)\right]^2
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
\mathrm{Cov} \left[E \left(Y_1\middle| Z\right),E \left(Y_2\middle| Z\right)\right]=V \left(u_z\right)
\end{align}
したがって、$V \left(u_z\right)=\sigma_u^2$ とすると、
\begin{align}
\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\right)=\sigma_u^2 \neq 0
\end{align}
〔2〕応答値の分散
回帰式の分散を取ると、$u_z$ は定数なので、
\begin{align}
V \left(Y_j\middle| z\right)&=V \left(u_z+\varepsilon_{i1}\middle| z\right)\\
&=V \left(\varepsilon_{i1}\right)\\
&=\sigma_\varepsilon^2
\end{align}
全分散の法則 $V \left(X\right)=E \left[V \left(X\middle| Y\right)\right]+V \left[E \left(X\middle| Y\right)\right]$ より、
\begin{align}
V \left(Y_j\right)&=E \left(\sigma_\varepsilon^2\right)+V \left(u_z\right)\\
&=\sigma_u^2+\sigma_\varepsilon^2
\end{align}
〔3〕ペア内の相関係数
相関係数の定義式より、
\begin{align}
\rho_{Y_1Y_2}&=\frac{\mathrm{Cov} \left(Y_1,Y_2\right)}{\sqrt{V \left(Y_1\right)}\sqrt{V \left(Y_2\right)}}\\
&=\frac{\sigma_u^2}{\sqrt{\sigma_u^2+\sigma_\varepsilon^2} \cdot \sqrt{\sigma_u^2+\sigma_\varepsilon^2}}\\
&=\frac{\sigma_u^2}{\sigma_\varepsilon^2+\sigma_u^2}
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.258
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.223-224
0 件のコメント:
コメントを投稿