フィッシャーの正確確率検定-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

フィッシャーの正確確率検定

公開日： 2022/11/06

本稿では、フィッシャーの正確確率検定の正確なp値の算出方法の導出を行っています。サンプルサイズが小さく、漸近的な正規近似を前提とする独立性の検定が妥当でない場合に使える標準的な方法として非常に有名です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。

目次[非表示]

1.【定理】フィッシャーの正確確率検定
- 1.1.証明
2.参考文献
3.関連記事

【定理】フィッシャーの正確確率検定

【定理】
フィッシャーの正確確率検定
Fisher's Exact Test

マッチングなしのコホート研究（超幾何分布モデル）において、曝露群と非曝露群の発症確率に関する帰無仮説を $\begin{matrix} H_{0} : π_{1} = π_{0} \end{matrix}$ 対立仮説を
①両側仮説 $\begin{matrix} H_{1} : π_{1} \neq π_{0} \end{matrix}$ ②右側仮説 $\begin{array}{r} H_{1} : π_{1} > π_{0} \end{array}$ ③左側仮説 $\begin{array}{r} H_{1} : π_{1} < π_{0} \end{array}$ とするとき、帰無仮説の下で、実際に観測された分割表が得られる確率（条件付き尤度）は、 $\begin{matrix} P_{C} (X = a | H_{0}) = \frac{n_{1}! n_{0}! m_{1}! m_{0}!}{N! a! b! c! d!} \end{matrix}$ で与えられる。この検定を行うための正確な $p$ 値は
①両側仮説 $\begin{matrix} p = \sum_{x = a_{l}}^{a_{u}} I {P_{C} (x) \leq P_{C} (a)} \cdot P_{C} (x) \end{matrix}$ ②右側仮説 $\begin{array}{r} p_{U} = \sum_{x = a}^{a_{u}} P_{C} (x | H_{0}) \end{array}$ ③左側仮説 $\begin{array}{r} p_{L} = \sum_{x = a_{l}}^{a} P_{C} (x | H_{0}) \end{array}$ で与えられる。ただし、 $I {∙}$ は、カッコ内の命題が真であれば1、偽であれば0を取る指示関数 $\begin{matrix} I {∙} = {\begin{matrix} 1 & Ture \\ 0 & False \end{matrix} \end{matrix}$ とする。

証明

周辺度数 $\begin{matrix} n_{1} n_{0} m_{1} m_{0} \end{matrix}$ が固定されているという条件の下で、曝露群の発症人数 $a$ が超幾何分布 $\begin{array}{r} a \sim HG (N, n_{1}, m_{1}) \end{array}$ に従うとき、帰無仮説の下で、実際に観測された分割表が得られる確率は、超幾何分布の確率関数より、 $\begin{aligned} P_{C} (X = a | H_{0}) & = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a}}{_{N} C_{m_{1}}} \\ = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{0}} C_{b}}{_{N} C_{m_{1}}} \\ = \frac{n_{1}!}{a! (n_{1} - a)!} \cdot \frac{n_{0}!}{b! (n_{0} - b)!} \cdot \frac{m_{1}! (N - m_{1})!}{N!} \\ = \frac{n_{1}!}{a! c!} \cdot \frac{n_{0}!}{b! d!} \cdot \frac{m_{1}! m_{0}!}{N!} \\ = \frac{n_{1}! n_{0}! m_{1}! m_{0}!}{N! a! b! c! d!} \end{aligned}$ 統計的仮説検定を行う際には、実際に得られたデータ以上に極端な値を取る確率を求めるので、正確な $p$ 値は極端な値を取る確率の総和となる。 $◼$

参考文献

ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.34-36
Fisher, R. A.. On the interpretation of $χ^{2}$ from contingency tables, and the calculation of P. Journal of the Royal Statistical Society, 1922;85 (1): 87-94. doi: https://doi.org/10.2307/2340521

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