本稿では、二重同次ポアソンモデルのもとでの粗率と加重最小2乗和の関係に関する証明を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
【命題】粗率と加重最小2乗和の関係
【命題】
粗率と加重最小2乗和の関係
Relationship between Crude Rate and Weighted Least Squares
二重同次ポアソンモデルのもとで、
〔1〕粗率と加重最小2乗和の同等性
\begin{gather}
\bar{r}=\frac{\sum_{i=1}^{N}{{\hat{\tau}}_ir_i}}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}=\hat{\lambda}\\
r_i=\frac{d_i}{t_i} \quad {\hat{\tau}}_i=\frac{1}{\hat{V} \left(r_i\right)}
\end{gather}
〔2〕加重最小2乗和の最尤推定分散
\begin{align}
\hat{V} \left(\bar{r}\right)=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}=\hat{V} \left(\hat{\lambda}\right)
\end{align}
証明：粗率と加重最小2乗和の同等性
二重同次ポアソンモデルの仮定より、 \begin{align} E \left(d_i\right)=V \left(d_i\right)=\lambda t_i \end{align} 各被験者の率の定義より、 \begin{align} r_i=\frac{d_i}{t_i} \end{align} 両辺の期待値を取ると、 \begin{align} E \left(r_i\right)&=E \left(\frac{d_i}{t_i}\right)\\ &=\frac{1}{t_i}E \left(d_i\right)\\ &=\frac{1}{t_i} \cdot \lambda t_i\\ &=\lambda \end{align} 両辺の分散を取ると、 \begin{align} V \left(r_i\right)&=V \left(\frac{d_i}{t_i}\right)\\ &=\frac{1}{t_i^2}V \left(d_i\right)\\ &=\frac{\lambda t_i}{t_i^2}\\ &=\frac{\lambda}{t_i} \end{align} 率の分散の最尤推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left(r_i\right)=\frac{\hat{\lambda}}{t_i} \end{align} 定義より、 \begin{align} {\hat{\tau}}_i=\frac{1}{\hat{V} \left(r_i\right)}=\frac{t_i}{\hat{\lambda}} \end{align} 同様に、加重最小2乗和の定義より、 \begin{align} \bar{r}&=\frac{\sum_{i=1}^{N}{{\hat{\tau}}_ir_i}}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{N}{\frac{t_i}{\hat{\lambda}}r_i}}{\sum_{i=1}^{N}\frac{t_i}{\hat{\lambda}}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{N}{t_ir_i}}{T}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{N}{t_i\frac{d_i}{t_i}}}{T}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{N}d_i}{T}\\ &=\frac{D}{T}\\ &=\hat{\lambda} \end{align} $\blacksquare$
証明：加重最小2乗和の最尤推定分散
まず、 \begin{align} \sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i&=\sum_{i=1}^{N}\frac{t_i}{\hat{\lambda}}\\ &=\frac{1}{\hat{\lambda}}\sum_{i=1}^{N}t_i\\ &=\frac{T}{\hat{\lambda}}\\ \frac{1}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}&=\frac{\hat{\lambda}}{T}\\ &=\hat{V} \left(\hat{\lambda}\right) \end{align} 加重最小2乗和の分散を取ると、 \begin{align} \hat{V} \left(\bar{r}\right)&=V \left(\frac{\sum_{i=1}^{N}{{\hat{\tau}}_ir_i}}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}\right)\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}\right)^2V \left(\sum_{i=1}^{N}{{\hat{\tau}}_ir_i}\right)\\ &=\frac{{\hat{\lambda}}^2}{T^2} \cdot V \left(\sum_{i=1}^{N}{\frac{t_i}{\hat{\lambda}} \cdot \frac{d_i}{t_i}}\right)\\ &=\frac{{\hat{\lambda}}^2}{T^2} \cdot V \left(\sum_{i=1}^{N}\frac{d_i}{\hat{\lambda}}\right)\\ &=\frac{{\hat{\lambda}}^2}{T^2} \cdot \frac{1}{{\hat{\lambda}}^2}\sum_{i=1}^{N}{\hat{V} \left(d_i\right)}\\ &=\frac{1}{T^2}\sum_{i=1}^{N}{\hat{\lambda}t_i}\\ &=\frac{\hat{\lambda} \cdot T}{T^2}\\ &=\frac{\hat{\lambda}}{T}\\ &=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}{\hat{\tau}}_i}\\ \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.412-414, p.451
0 件のコメント:
コメントを投稿