ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.2 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.2」の自作解答例です。大標本ケース・コントロール研究の分析に関する例題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題5.2.1：帰無仮説の設定

喫煙と心不全との因果関係を示すという文脈においては、以下の検定仮説を検定することになる。 $$\begin{array}{c}{H}_0:\mathrm{RR}=1H_1:\mathrm{RR}\ne 1\end{array}$$ $◼$

問題5.2.2：前向き発症オッズ比の推定値と信頼区間

前向き発症オッズ比と後ろ向き曝露オッズ比の同等性より、前向き発症オッズ比の推定値は、 $$\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{OR}}=\frac{120\cdot 170}{80\cdot 130}\cong 1.962\end{array}$$ 対数オッズ比の分散の公式より、$\theta =\log \widehat{\mathrm{OR}}$ として、 $$\begin{array}{c}V\left(\hat{\theta }\right)=\frac{120\cdot 170}{80\cdot 130}\cong 0.034\\ \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)\cong 0.185\end{array}$$ $\theta$ に対する95％信頼区間は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\theta }}_L=\log 1.962-1.96\cdot 0.185=0.310\\ {\hat{\theta }}_U=\log 1.962+1.96\cdot 0.185=1.037\end{array}$$ $\mathrm{OR}$ に対する95％信頼区間は、 $$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_L=e^{0.310}\cong 1.364\\ {\mathrm{OR}}_U=e^{1.037}\cong 2.822\end{array}$$ $◼$

問題5.2.3：希少疾患の仮定の下での前向きリスク比の推定

問題文の条件より、真の有病率は、 $$\begin{array}{c}\delta =P\left(D\right)=1.0\times {10}^{-4}\end{array}$$ ケース群とコントロール群の曝露割合の推定値は、 $$\begin{array}{c}{p}_1=\frac{120}{200}=0.60\\ p_2=\frac{130}{300}\cong 0.43\end{array}$$ これらの値をもとに各セルの値を推定すると以下のようになる。

ここから、曝露群と非曝露群の発症割合を推定すると、 $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_1=\frac{0.00006}{0.4334}=0.00014\\ {\hat{\pi }}_2=\frac{0.00004}{0.5667}\cong 0.00007\end{array}$$ したがって、前向き発症リスク比の推定値は、 $$\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{RR}}\cong \frac{0.00014}{0.00007}=2.0\end{array}$$ この値は、曝露オッズ比による推定に近い値である。 $◼$

問題5.2.4：母集団寄与リスクの推定と信頼区間

問題文の条件より、全体の曝露割合と非曝露割合はそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{\alpha }_1=0.30{\alpha }_2=1-{\alpha }_1=0.7\end{array}$$ 母集団寄与リスクの推定公式 $\widehat{\mathrm{PAR}}=\frac{{\alpha }_1(\widehat{\mathrm{OR}}-1)}{{\alpha }_1\widehat{\mathrm{OR}}+{\alpha }_2}$ より、 $$\begin{array}{rl}\widehat{\mathrm{PAR}}& =\frac{0.3(1.962-1)}{0.3\cdot 1.962+0.7}\\ & =0.224\end{array}$$ ここで、$\theta =\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}$ とすると、分散の推定公式より、 $$\begin{array}{rl}\hat{V}\left(\theta \right)& ={\left(\frac{\widehat{\mathrm{OR}}}{\widehat{\mathrm{OR}}-1}\right)}^2\cdot V(\log \widehat{\mathrm{OR}})\\ & ={\left(\frac{1.962}{1.962-1}\right)}^2\cdot 0.034\\ & \cong 0.143\\ \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)& \cong 0.378\end{array}$$ $\theta$ に対する95％信頼区間は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\theta }}_L=\log \frac{0.224}{1-0.224}-1.96\cdot 0.378=-1.985\\ {\hat{\theta }}_U=\log \frac{0.224}{1-0.224}+1.96\cdot 0.378=-0.502\end{array}$$ $\mathrm{PAR}$ に対する95％信頼区間は、 $$\begin{array}{c}{\mathrm{PAR}}_L=\frac{e^{-1.985}}{1+e^{-1.985}}=0.121\\ {\mathrm{PAR}}_U=\frac{e^{-0.502}}{1+e^{-0.502}}=0.377\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.257-258
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.215-221

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