ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.11 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.11」の自作解答例です。マクネマー検定に必要なサンプルサイズと検出力に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
• 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,{\pi }_0$ など）や「2」である場合（$n_2,{\pi }_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
• 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
• デルタ法を用いる際、剰余項（2次の項）が漸近的に無視できる（$0$に確率収束する）と仮定しています。
• 上述の参考書では、標準正規分布の上側 $100\alpha \mathrm{\%}$ 点を $Z_{1-\alpha }$ と表記していますが、本サイトでは、$Z_{\alpha }$ としています。そのため、参考書に載っている式の形式と異なる部分があります。
• 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
• この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。

 

問5.11.1：検出力の公式

まず、対称性に関する仮説を検定するための検定統計量は、各セルの度数が四項分布に従うという仮定のもとで、標本比率の差 $$\begin{array}{r}T=p_{12}-p_{21}\end{array}$$ である。 帰無仮説と対立仮説における漸近分布は、 $$\begin{array}{c}{T}_0\sim \mathrm{N}(0,\frac{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}{N})\\ T_1\sim \mathrm{N}[{\pi }_{12}-{\pi }_{21},\frac{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}{N}]\end{array}$$ 臨床的有意差・有意水準・検出力の関係式より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& |{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|=Z_{\alpha }\cdot \frac{\sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}}{\sqrt{N}}-Z_{1-\beta }\cdot \frac{\sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}}{\sqrt{N}}\end{array}$$ 式 $(1)$ を検出力について解くと、 $$\begin{array}{r}{Z}_{1-\beta }=\frac{Z_{\alpha }\sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-\sqrt{N}|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|}{\sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}}\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.2：サンプルサイズの公式

式 $(1)$ を総サンプルサイズ $N$ について解くと、 $$\begin{array}{c}\sqrt{N}|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|=Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}\\ \sqrt{N}=\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|}\\ N={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|}\right]}^2\end{array}$$ 条件付きオッズ比 ${\phi }_c=\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}\iff {\pi }_{12}={\phi }_c{\pi }_{21}$ を用いると、 $$\begin{array}{rl}N& ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\phi }_c{\pi }_{21}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\phi }_c{\pi }_{21}+{\pi }_{21})-{({\phi }_c{\pi }_{21}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\phi }_c{\pi }_{21}-{\pi }_{21}|}\right]}^2\\ & ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{({\phi }_c+1){\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\phi }_c+1){\pi }_{21}-{\pi }_{21}^2{({\phi }_c-1)}^2}}{\left|({\phi }_c-1){\pi }_{21}\right|}\right]}^2\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.3：サンプルサイズと検出力に関する式

まず、応答不一致のセルの度数の総数が固定されており、「発症あり・発症なし」のセル度数が条件付き二項分布に従うという仮定のもとで、対称性に関する仮説を検定するための検定統計量は、標本比率 $$\begin{array}{r}T=p_f\end{array}$$ である。 帰無仮説と対立仮説における漸近分布は、 $$\begin{array}{c}{T}_0\sim \mathrm{N}(\frac{1}{2},\frac{1}{4M})\\ T_1\sim \mathrm{N}[\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$ 臨床的有意差・有意水準・検出力の関係式より、 $$\begin{array}{c}|\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-\frac{1}{2}|=Z_{\alpha }\cdot \frac{1}{2\sqrt{M}}-Z_{1-\beta }\cdot \frac{\sqrt{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}}{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})\sqrt{M}}\\ \sqrt{M}\left|\frac{2{\pi }_{12}-{\pi }_{12}-{\pi }_{21}}{2({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\right|=Z_{\alpha }\cdot \frac{1}{2}-Z_{1-\beta }\cdot \frac{\sqrt{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}}{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\\ \sqrt{M}\left|\frac{{\pi }_{12}-{\pi }_{21}}{2({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\right|=\frac{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})Z_{\alpha }-2\sqrt{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}\cdot Z_{1-\beta }}{2({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\\ \sqrt{M}|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|=({\pi }_{12}+{\pi }_{21})Z_{\alpha }-2\sqrt{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}\cdot Z_{1-\beta }\end{array}$$ ここで、条件付きオッズ比を ${\phi }_c=\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}$ として、両辺を ${\pi }_{21}$ で割ると、 $$\begin{array}{c}\sqrt{M}|\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}-\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{21}}|=(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}+\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{21}})Z_{\alpha }-2\frac{\sqrt{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}}{{\pi }_{21}}\cdot Z_{1-\beta }\\ \text{(2)}& \sqrt{M}|{\phi }_c-1|=({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-2\sqrt{{\phi }_c}\cdot Z_{1-\beta }\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.4：検出力の公式

式 $(2)$ を検出力について解くと、 $$\begin{array}{c}2\sqrt{{\phi }_c}{Z}_{1-\beta }=({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-\sqrt{M}|{\phi }_c-1|\\ Z_{1-\beta }=\frac{({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-\sqrt{M}|{\phi }_c-1|}{2\sqrt{{\phi }_c}}\end{array}$$ 式 $(2)$ を応答不一致のペアの総数について解くと、 $$\begin{array}{c}\sqrt{M}=\frac{({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-2\sqrt{{\phi }_c}\cdot Z_{1-\beta }}{|{\phi }_c-1|}\\ M={\left[\frac{({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-2\sqrt{{\phi }_c}\cdot Z_{1-\beta }}{|{\phi }_c-1|}\right]}^2\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.5：2次方程式の導出

与えられた条件から、以下のような関係を導ける。

表1 マッチングを行ったケース・コントロール研究に関する
$2\times 2$ 分割表（統計モデル）

		非発症者 $(\overline{D})$		合計
		曝露あり $(E)$	曝露なし $(\overline{E})$
発症者 $(D)$	曝露あり $(E)$	${\varphi }_{11}=\frac{\omega {\varphi }_{12}{\varphi }_{21}}{{\varphi }_{22}}$	${\varphi }_{12}$	${\varphi }_{DE}$ $(={\pi }_{1\bullet })$
	曝露なし $(\overline{E})$	${\varphi }_{21}=\frac{{\varphi }_{12}}{{\phi }_c}$	${\varphi }_{22}=1-{\varphi }_{D\overline{E}}-{\varphi }_{12}$	${\varphi }_{D\overline{E}}$ $(={\pi }_{0\bullet })$
合計		${\varphi }_{\overline{D}E}$ $(={\varphi }_{\bullet 1})$	${\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}$ $(={\varphi }_{\bullet 0})$	$1$

これにもとづくと、 $$\begin{array}{c}{\varphi }_{\overline{D}E}={\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}\\ {\varphi }_{\overline{D}E}=\frac{\omega {\varphi }_{12}{\varphi }_{21}}{{\varphi }_{22}}+\frac{{\varphi }_{12}}{{\phi }_c}\\ {\varphi }_{\overline{D}E}=\frac{\omega {\varphi }_{12}}{1-{\varphi }_{\overline{D}E}-{\varphi }_{12}}\frac{{\varphi }_{12}}{{\phi }_c}+\frac{{\varphi }_{12}}{{\phi }_c}\\ {\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c(1-{\varphi }_{\overline{D}E}-{\varphi }_{12})=\omega {\varphi }_{12}\cdot {\varphi }_{12}+(1-{\varphi }_{\overline{D}E}-{\varphi }_{12}){\varphi }_{12}\\ {\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c(1-{\varphi }_{\overline{D}E})-{\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c{\varphi }_{12}=\omega {\varphi }_{12}^2+(1-{\varphi }_{\overline{D}E}){\varphi }_{12}-{\varphi }_{12}^2\\ (\omega -1){\varphi }_{12}^2+(1-{\varphi }_{\overline{D}E}+{\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c){\varphi }_{12}-{\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c(1-{\varphi }_{\overline{D}E})=0\\ \frac{\omega -1}{{\phi }_c}{\varphi }_{12}^2+\frac{{\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c+(1-{\varphi }_{\overline{D}E})}{{\phi }_c}{\varphi }_{12}-{\varphi }_{\overline{D}E}(1-{\varphi }_{\overline{D}E})=0\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.6：サンプルサイズの設計公式の適用

サンプルサイズの設計公式に、 $$\begin{array}{c}{Z}_{0.5\alpha }=Z_{0.025}=1.96\\ Z_{1-\beta }=Z_{0.9}=-1.282\\ {\phi }_c=1.3\\ {\pi }_{21}=0.25\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}N& ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\phi }_c{\pi }_{21}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\phi }_c{\pi }_{21}+{\pi }_{21})-{({\phi }_c{\pi }_{21}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\phi }_c{\pi }_{21}-{\pi }_{21}|}\right]}^2\\ & ={\left[\frac{1.96\cdot \sqrt{1.8\cdot 0.25+\cdot 0.25}+1.282\cdot \sqrt{1.8\cdot 0.25+0.25-{(1.8\cdot 0.25-0.25)}^2}}{|1.8\cdot 0.25-0.25|}\right]}^2\\ & =179.69\\ & \cong 180\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.7：応答不一致のペアの総数の期待値

与えられた条件のもと、応答不一致のペアが得られる確率は、 $$\begin{array}{r}{\pi }_{12}+{\pi }_{21}=1.8\cdot 0.25+0.25=0.70\end{array}$$ 得られたサンプルサイズのもとで、 $$\begin{array}{r}M\sim \mathrm{B}(180,0.70)\end{array}$$ 二項分布の期待値の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left(M\right)=180\cdot 0.70=126\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.8：検出力の公式の適用①

〔1〕検出力の算出
検出力の公式に、 $$\begin{array}{c}{Z}_{0.5\alpha }=Z_{0.025}=1.96\\ M=105\\ {\phi }_c=1.8\\ {\pi }_{21}=0.25\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{cc}{Z}_{1-\beta }& =\frac{({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-\sqrt{M}|{\phi }_c-1|}{2\sqrt{{\phi }_c}}\\ & =\frac{(1.8+1)\cdot 1.96-\sqrt{105}|1.8-1|}{2\sqrt{1.8}}\\ & \cong -1.010\end{array}$$ $Z_{1-\beta }=-1.010$ が標準正規分布の上側何%点にあたるかを調べると、 $$\begin{array}{c}{Z}_{1-\beta }=-1.010=Z_{0.844}\\ 1-\beta =0.844=84.4\mathrm{\%}\end{array}$$ 〔2〕オッズ比の算出
$x=\sqrt{{\phi }_c},1\le {\phi }_c$ とおくと、応答不一致ペアの総数と条件付きオッズ比の関係式より、 $$\begin{array}{c}\sqrt{M}|{\phi }_c-1|=({\phi }_c+1)Z_{\alpha }-2\sqrt{{\phi }_c}\cdot Z_{1-\beta }\\ \sqrt{M}(x^2-1)=(x^2+1)Z_{\alpha }-2x\cdot Z_{1-\beta }\\ \sqrt{M}{x}^2-\sqrt{M}=Z_{\alpha }{x}^2+Z_{\alpha }-2x\cdot Z_{1-\beta }\\ \sqrt{M}{x}^2-Z_{\alpha }{x}^2-Z_{\alpha }+2x\cdot Z_{1-\beta }-\sqrt{M}=0\\ (\sqrt{M}-Z_{\alpha })x^2+2Z_{1-\beta }\cdot x-Z_{\alpha }-\sqrt{M}=0\\ (\sqrt{105}-1.960)x^2-2.564x-(\sqrt{105}+1.960)=0\\ 8.287x^2-2.564x-12.207=0\end{array}$$ 2次方程式の解の公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 $$\begin{array}{c}x=\frac{2.564\pm \sqrt{{2.564}^2+4\cdot 8.287\cdot 12.207}}{2\cdot 8.287}\\ x=1.378x=-1.069\end{array}$$ $0\le x$ より、 $$\begin{array}{rl}x=\sqrt{{\phi }_c}& =1.378\\ {\phi }_c& \cong 1.899\\ & \cong 1.90\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.9：検出力の公式の適用②

〔1〕検出力の算出
検出力の公式に、 $$\begin{array}{c}{Z}_{0.5\alpha }=Z_{0.025}=1.96\\ M=90\\ {\phi }_c=1.8\\ {\pi }_{21}=0.25\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}{Z}_{1-\beta }& =\frac{(1.8+1)\cdot 1.96-\sqrt{90}|1.8-1|}{2\sqrt{1.8}}\\ & \cong -0.783\end{array}$$ $Z_{1-\beta }=-1.010$ が標準正規分布の上側何%点にあたるかを調べると、 $$\begin{array}{c}{Z}_{1-\beta }=-1.010=Z_{0.783}\\ 1-\beta =0.783=78.3\mathrm{\%}\end{array}$$ $◼$

 

問5.11.10：Schlesselmanの方法の適用

Schlesselmanの2次方程式に、 $$\begin{array}{c}{\varphi }_{\overline{D}E}=0.2\\ \omega =1.5\\ {\phi }_c=1.3\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}\frac{\omega -1}{{\phi }_c}{\varphi }_{12}^2+\frac{{\varphi }_{\overline{D}E}{\phi }_c+(1-{\varphi }_{\overline{D}E})}{{\phi }_c}{\varphi }_{12}-{\varphi }_{\overline{D}E}(1-{\varphi }_{\overline{D}E})=0\\ \frac{1.5-1}{1.3}{\varphi }_{12}^2+\frac{0.2\cdot 1.3+(1-0.2)}{1.3}{\varphi }_{12}-0.2(1-0.2)=0\\ 0.385{\varphi }_{12}^2+0.815{\varphi }_{12}-0.16=0\end{array}$$ 2次方程式の解の公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 $$\begin{array}{c}{\varphi }_{12}=\frac{-0.815\pm \sqrt{{0.815}^2+4\cdot 0.385\cdot 0.16}}{2\cdot 0.385}\\ {\varphi }_{12}=0.181{\varphi }_{12}=-2.298\end{array}$$ $0\le {\varphi }_{12}\le 1$ より、 $$\begin{array}{r}{\varphi }_{12}=0.181\end{array}$$ サンプルサイズの設計公式に、 $$\begin{array}{c}{Z}_{0.5\alpha }=Z_{0.025}=1.96\\ Z_{1-\beta }=Z_{0.9}=-1.282\\ {\phi }_c=1.3\\ {\varphi }_{21}=\frac{0.181}{1.3}=0.139\end{array}$$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}N& ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|}\right]}^2\\ & ={\left[\frac{1.96\cdot \sqrt{0.181+0.139}-1.282\cdot \sqrt{(0.181+0.139)-{(0.181-0.139)}^2}}{|0.181-0.139|}\right]}^2\\ & =84.26\\ & \cong 85\end{array}$$ $◼$

 

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.261-262
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.238-242

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