本稿では、横断研究やコホート研究における有病率・発生割合に関する検定の検定統計量の導出を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】有病率・発生割合に関する検定
【定理】
有病率・発生割合に関する検定
Statistical Test for Prevalence and Incidence Proportion
マッチングなしのコホート研究における任意の群の有病率・発生割合
\begin{gather}
\pi \quad \hat{\pi}
\end{gather}
に関する
帰無仮説を $\pi_0$ を定数として
\begin{gather}
H_0:\pi=\pi_0
\end{gather}
対立仮説を
①両側仮説
\begin{gather}
H_1:\pi \neq \pi_0
\end{gather}
②右側仮説
\begin{align}
H_1:\pi \gt \pi_0
\end{align}
③左側仮説
\begin{align}
H_1:\pi \lt \pi_0
\end{align}
とするとき、
$\mathrm{Z}$検定統計量は
\begin{align}
Z_0=\frac{\sqrt n \left(\hat{\pi}-\pi_0\right)}{\sqrt{\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}}
\end{align}
で与えられる。
導出
帰無仮説の下での標本比率の漸近分布は、 \begin{gather} \hat{\pi} \sim \mathrm{N} \left[\pi_0,\frac{\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}{n}\right] \end{gather} 帰無仮説の下での標本比率の標準誤差は、 \begin{gather} {\hat{\sigma}}_0=\frac{\sqrt{\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}}{\sqrt n} \end{gather} 帰無仮説の下で標本比率を標準化すると、 \begin{gather} Z_0=\frac{\sqrt n \left(\hat{\pi}-\pi_0\right)}{\sqrt{\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}} \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.278-279
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