同次ポアソン回帰モデル

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【2022年11月4週】 【A000】生物統計学 【A051】コホート研究 【A090】多変量回帰モデル 【A093】ポアソン回帰分析

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本稿では、同次ポアソン回帰モデルについて解説しています。このモデルは、①任意の経過時間におけるイベントの平均発生回数がポアソン分布に従う、②時間の経過とともに平均発生率は変化しない、③各被験者のイベント発生率が共変量の関数として表されるなどが仮定されるモデルです。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

  • スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
  • 曝露(発症)状況を表す右下の添え字は、「0」である場合(n0,π0 など)や「2」である場合(n2,π2 など)がありますが、どちらも「非曝露群(コントロール群)」を表しています。
  • 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。

同次ポアソン回帰モデル

集計化された標本に対して過分散が起こる別のメカニズムとして、母集団が、異なる強度、または、リスクに関連する異なる共変量の値によって特徴付けられた部分母集団の混合から構成されている場合である。したがって、母集団は、本質的により高いリスクを有する被験者と低いリスクを有する被験者との混合という意味で、異なる共変量値をもった被験者の混合母集団となる。このようなリスクの変動を説明する1つの方法は、条件付き期待値(強度)を共変量の関数としてモデル化するポアソン回帰 Poisson regression モデルを考えることである(1)。ポアソン分布は指数型分布族の一種であるため、ポアソン回帰モデルは、一般化線形モデル(GLM)の一種として扱うことができる。

各患者(i=1,2,,N)が共変量ベクトル xi={xi1xi2xip} の関数として、 基準となるリスク、または、強度をもっていると仮定する。率パラメータ λ(xi) は正である必要があるため、ポアソンの率パラメータの正準連結関数である対数連結関数を用いた対数線形モデルを使用する。

このとき、モデルは log{λ(xi)}=α+xiTβ=α+xi1β1++xipβp=ηiλ(xi)=eα+xiTβ と表され、 パラメータは θ={αβ}β={β1β2βp} となる。

k 番目の共変量に対して、βkXk の単位変化当たりの対数リスク比となる。このとき、i 番目の患者に対する ti 年間に事象が発生した回数 di の平均回数は E(di|xi,ti)=λ(xi)ti=eα+xiTβ+logti で表される。 ここで、logti はオフセット項であるため、固定された対象となる要因の時間(曝露時間)ti が与えられた場合、各患者は暗に切片項 αi=α+logti をもつことを意味する。 このとき、 diPo{λ(xi)ti} であり、 E(di|xi,ti)=V(di|xi,ti)=λ(xi)ti を仮定する。 これは di=λ(xi)ti+εi とすることと同値である。 ここで、誤差項 εiti とは独立に平均ゼロで分散 λ(xi)ti である分布に従っているとする。

したがって、尤度は、以下のようにポアソン確率の積として L(θ)=i=1N{λ(xi)ti}dieλ(xi)tidi! 対数尤度は、 l(θ)=i=1N[dilog{λ(xi)ti}log(di!)λ(xi)ti]l(α,β)=i=1N[di{α+xiTβ+logti}log(di!)tieα+xiTβ] スコアベクトル U(θ)={Uα(θ)Uβ1(θ)Uβp(θ)} の各成分は Uα(θ)=i=1N(ditieα+xiTβ)=i=1N{diλ(xi)ti}Uβk(θ)=i=1N(xikdixiktieα+xiTβ)=i=1Nxik{diλ(xi)ti}

Uα(θ) によって、 D=i=1Ndi=i=1Nλ^iti また、k 番目の共変量に対しては、固定された他の共変量の値と固定された曝露時間 t が与えられたとき、βk は共変量 Xk の値の単位差分当たりの対数強度(対数リスク)の差分に等しく eβk 単位差分当たりの対数相対強度(リスク)に等しい。

観測情報行列と期待情報行列は、 Iα(θ)=iα(θ)=i=1Ntieα+xiTβ=i=1Nλ(xi)tiIαβk(θ)=iαβk(θ)=i=1Nxiktieα+xiTβ=i=1Nxikλ(xi)tiIβk(θ)=iβk(θ)=i=1Nxik2tieα+xiTβ=i=1Nxik2λ(xi)tiIβkβl(θ)=iβkβl(θ)=i=1Nxikxiltieα+xiTβ=i=1Nxikxilλ(xi)ti したがって、 θ^={α^β^1β^p} を上記の値に代入した成分をもつ I(θ^)i(θ^) が得られる。 指数型分布族(GLM)である場合、情報行列の成分は Iβk(θ)=i=1Nxik2V(di|xi,ti) のように モデルベースの条件付き分散の加重和となる。

単純な二値共変量のみの場合の例

共変量があるリスクファクターへの曝露・非曝露のみの同次ポアソン回帰モデル log{λ(xi)}=α+xiβλ(xi)=eα+xiβxi={1Exposed(E)0Unexposed(E¯) について、 帰無仮説と対立仮説を H0:θ={α00}=θ0vs.H1:θ={αβ}θ0 とする。

帰無仮説のもとでの最尤推定量

〔1〕対立仮説
曝露群・非曝露群の強度はそれぞれ、 log{λ(xi)}=α+1β=α+βλ1=eα+βlog{λ(xi)}=α+0β=αλ2=eα 尤度関数は、 L(θ)=i=1N{λ(xi)ti}dieλ(xi)tidi! 対数尤度関数は、 l(θ)=i=1N[dilog{λ(xi)ti}log(di!)λ(xi)ti]l(α,β)=i=1N[di{α+xiβ+logti}log(di!)tieα+xiβ]=i=1N[αdi+dixiβdilog(di!)tieα+xiβ] パラメータ α のスコア関数 Uα(θ)=αl(θ) は、 Uα(θ)=i=1Ndii=1Ntieα+xiβ パラメータ β のスコア関数は、Uβ(θ)=βl(θ) は、 Uβ(θ)=i=1Nxi(dieα+xiβti) 尤度方程式は、 (1)i=1Ndii=1Ntieα+xiβ=0(2)i=1Nxi(dieα+xiβti)=0(1) より、 D=i=1Ntieα+xiβ=i=1n1tieα+β+j=1n2eαtj(3)=eα+βT1+eαT2(2) より、 i=1n11(dieα+βti)+j=1n20(djeαtj)=0i=1n1dieα+βi=1Nti=0(4)eα+βT1=D1(3),(4) より、各群のハザードの最尤推定量は、 λ^1=eα^+β^=D1T1λ^2=eα^=D2T2 〔2〕帰無仮説
帰無仮説 H0:β=β0=0 のもとでのパラメータ α0 の最尤推定量は、 Uα(θ0)=i=1Ndii=1Ntieα^=0eα^=DT 帰無仮説のもとでのパラメータ β0 のスコア関数は、 Uβ(θ^0)=i=1Nxi(dieα^ti)=i=1n11(dieα^ti)j=1n20(dieα^ti)=i=1n1dieα^i=1n1ti=D1DT1T=(T1+T2)D1TT1(D1+D2)T=T2D1T1D2T

帰無仮説のもとでの期待情報量

このとき、期待情報行列の各成分の推定量は、 Iα(θ^0)=i=1Ntieα^+xiβ0=i=1Ntieα^=TDT=D Iβ(θ^0)=i=1Nxi2tieα^+xiβ0=i=1Nxi2tieα^=DT(i=1n11ti+j=1n20tj)=T1DT Iαβ(θ^0)=i=1Nxitieα^+xiβ0=i=1Nxitieα^=DT(i=1n11ti+j=1n20tj)=T1DT したがって、 I(θ^0)=[DT1DTT1DTT1DT] |I(θ^0)|=DT1DTT1DTT1DT=T1D2T(1T1T)=T1T2D2T2 I(θ^0)1=T2T1T2D2[T1DTT1DTT1DTD]

有効スコア検定

有効スコア検定の検定統計量は、 U(θ^0)=[0Uβ(θ^0)] として、 χ2=U(θ^0)TI(θ^0)1U(θ^0)=T2D1T1D2TT2T1T2DT2D1T1D2T=(T2D1T1D2)2T1T2D また、 λ^1=D1T1λ^2=D2T2 λ^1λ^2=D1T1D2T2=D1T2D2T1T1T2 したがって、 Z=T1T2D1+D2D1T2D2T1T1T2=D1T2D2T1T1T2DZ2=(D1T2D2T1)2T1T2D したがって、 χ2=Z2

参考文献

  • ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.424-425

引用文献

  1. Frome, E.L.. The analysis of rates using Poisson regression models. Biometrics. 1983, 39(3), p.665-674, doi: 10.2307/2531094

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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