本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題6.3」の自作解答例です。条件付き超幾何尤度にもとづくロジスティック回帰モデルに関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
- デルタ法を用いる際、剰余項（2次の項）が漸近的に無視できる（$0$に確率収束する）と仮定しています。
- 上述の参考書では、標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_{1-\alpha}$ と表記していますが、本サイトでは、$Z_\alpha$ としています。そのため、参考書に載っている式の形式と異なる部分があります。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題6.3.1：スコア方程式
周辺度数が固定されているという条件のもとでは、条件付き超幾何確率となる尤度関数は、 \begin{align} L \left(\varphi\right)=\frac{{}_{n_1}C_a \cdot {}_{n_2}C_{m_1-a} \cdot \varphi^a}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot \varphi^i}} \end{align} $\beta=\log{\varphi}$ より、対数尤度 $l \left(\theta\right)=\log{L \left(\theta\right)}$ は、 \begin{align} l \left(\varphi\right)&=\log{ \left({}_{n_1}C_a \cdot {}_{n_2}C_{m_1-a} \cdot \varphi^a\right)}-\log{ \left(\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot \varphi^i}\right)}\\ &=\log{{}_{n_1}C_a}+\log{{}_{n_2}C_{m_1-a}}+a\log{\varphi}-\log{ \left(\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot \varphi^i}\right)}\\ &=a\beta-\log{ \left(\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot \varphi^i}\right)}+C \end{align} スコア関数 $U \left(\theta\right)=\frac{\partial}{\partial\theta}l \left(\theta\right)$ は、この対数尤度関数を $\beta$ で偏微分して、 \begin{align} U \left(\beta\right)&=a-\frac{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i e^{i\beta}}}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}}\\ &=a-E \left(a\middle|\beta\right) \end{align} 観測情報量 $i \left(\beta\right)=-\frac{\partial^2}{\partial\beta^2}l \left(\beta\right)$ は、 \begin{align} i \left(\beta\right)&=\frac{ \left[\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}\right] \left[\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i^2e^{i\beta}}\right]- \left[\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i e^{i\beta}}\right]^2}{ \left[\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}\right]^2}\\ &=\frac{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i^2e^{i\beta}}}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}}- \left[\frac{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i e^{i\beta}}}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}}\right]^2 \end{align} $\blacksquare$
問題6.3.2：期待情報量
ここで、以下が成り立つので、 \begin{gather} E \left(a^2\middle|\beta\right)=\frac{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i^2e^{i\beta}}}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}}\\ \left\{E \left(a\middle|\beta\right)\right\}^2= \left[\frac{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i e^{i\beta}}}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot e^{i\beta}}}\right]^2 \end{gather} 観測情報量および期待情報量は \begin{align} i \left(\beta\right)&=I \left(\beta\right)\\ &=E \left(a^2\middle|\beta\right)- \left\{E \left(a\middle|\beta\right)\right\}^2\\ &=V \left(a\middle|\beta\right) \end{align} $\blacksquare$
問題6.3.3：帰無仮説のもとでのスコア方程式と期待情報量
帰無仮説 $H_0:\beta=\beta_0=0$ のもとでのスコア方程式は、 \begin{align} U \left(\beta_0\right)&=a-\frac{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i} \cdot i}}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_2}C_{m_1-i}}}\\ &=a-E \left(a\middle|\beta_0\right)\\ &=a-\frac{m_1n_1}{N} \end{align} 期待情報量は、 \begin{align} I \left(\beta_0\right)=V \left(a\middle|\beta_0\right)=\frac{m_1n_1m_2n_2}{N^2 \left(N-1\right)} \end{align} $\blacksquare$
問題6.3.4：有効スコア検定
スコア検定量の定義式より、 \begin{align} \chi^2&=\frac{ \left[U \left(\beta\right)\right]^2}{I \left(\beta_0\right)}\\ &=\frac{ \left[a-E \left(a\middle|\beta_0\right)\right]^2}{V \left(a\middle|\beta_0\right)}\\ &=\frac{ \left[a-\frac{m_1n_1}{N}\right]^2}{\frac{m_1n_1m_2n_2}{N^2 \left(N-1\right)}} \end{align} これはマンテル・ヘンツェル検定の検定統計量と等しい。 $\blacksquare$
問題6.3.5：有効スコアにもとづく対数オッズ比の漸近分散の推定
スコアにもとづく推定値の公式 ${\hat{\theta}}_0=\frac{U \left(\theta_0\right)}{I \left(\theta_0\right)}$ より、 \begin{align} \hat{\beta}= \left(a-\frac{n_1m_1}{N}\right) \left\{\frac{N^2 \left(N-1\right)}{n_1n_2m_1m_2}\right\} \end{align} また、スコアにもとづく推定値の分散の公式 $V \left({\hat{\theta}}_0\right)=\frac{1}{I \left(\theta_0\right)}$ より、 \begin{align} V \left(\hat{\beta}\right)=\frac{N^2 \left(N-1\right)}{n_1n_2m_1m_2} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.296-297
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.275-278
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