本稿には、2022年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕相関がある場合の期待値と分散
二変量正規分布の周辺分布であることから、 \begin{gather} X \sim \mathrm{N} \left(\mu_X,\sigma_X^2\right) \quad Y \sim \mathrm{N} \left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) \end{gather} すなわち、 \begin{gather} X \sim \mathrm{N} \left(120,144\right) \quad Y \sim \mathrm{N} \left(120,144\right) \end{gather} ここで相関係数の定義式より、 \begin{gather} \rho=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}\\ \sigma_{XY}=\rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \end{gather} ここから共分散を求めると、 \begin{gather} \sigma_{XY}=0.75 \cdot 12 \cdot 12=108 \end{gather} 期待値の性質より、 \begin{align} E \left(D\right)&=E \left(X-Y\right)\\ &=E \left(X\right)-E \left(Y\right)\\ &=120-120\\ &=0 \end{align} 分散の性質より、 \begin{align} V \left(D\right)&=V \left(X-Y\right)\\ &=V \left(X\right)+V \left(Y\right)-2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)\\ &=144+144-2 \cdot 108\\ &=72 \end{align} 正規分布の再生性より、 \begin{gather} D \sim \mathrm{N} \left(0,72\right) \end{gather} このとき、 \begin{align} P \left(D \le -4\right)&=P \left(\frac{D-0}{\sqrt{72}} \le \frac{-4-0}{\sqrt{72}}\right)\\ &=P \left(Z \le -0.47\right)\\ &=0.3192 \end{align} $\blacksquare$
〔2〕条件付き分布
測定値 $Y$ の条件付き分布を求めるのに必要な値を求めると、 \begin{gather} \beta=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X^2}=\frac{108}{144}=0.75\\ \alpha=\mu_Y-\beta\mu_X=120-0.75 \cdot 120=30\\ \sigma^2=\sigma_Y^2-\frac{\sigma_{XY}^2}{\sigma_X^2}=144-\frac{{108}^2}{144}=63 \end{gather} したがって、 \begin{align} E \left(Y\middle| X=132\right)&=\alpha+\beta x\\ &=30+0.75 \cdot 132\\ &=129 \end{align} \begin{align} V \left(Y\middle| X=132\right)&=\sigma^2\\ &=63 \end{align} \begin{gather} \left.Y\right|X=132 \sim \mathrm{N} \left(129,63\right) \end{gather} このとき、 \begin{align} P \left( \left.Y \le 128\right|X=132\right)&=P \left(\frac{Y-129}{\sqrt{63}} \le \frac{128-129}{\sqrt{63}}\right)\\ &=P \left(Z \le -0.13\right)\\ &=0.4483 \end{align}
平均への回帰とは、2回の測定 $ \left(X,Y\right)$ において、1回目の測定値 $x$ が平均 $\mu_X=E \left(X\right)$ よりも大きい（小さい）個体の2回目の測定値の期待値 $E \left(Y\middle| X=x\right)$ は $\mu_Y=E \left(Y\right)$ よりも大きい（小さい）ものの、差の絶対値 $ \left|E \left(Y\middle| X=x\right)-\mu_Y\right|$ は $ \left|x-\mu_X\right|$ よりも小さいことをいう。平均への回帰分は3 mmHg とみなされる。 $\blacksquare$
〔3〕変動効果モデル
問題の仮定から \begin{gather} \theta \sim \mathrm{N} \left(\mu,\tau^2\right) \quad \varepsilon_i \sim \mathrm{N} \left(0,\psi^2\right)\\ X=\theta+\varepsilon_1 \quad Y=\theta+\varepsilon_2 \end{gather} 正規分布の再生性より、 \begin{gather} X \sim \mathrm{N} \left(\mu,\tau^2+\psi^2\right) \quad Y \sim \mathrm{N} \left(\mu,\tau^2+\psi^2\right) \end{gather} したがって、 \begin{gather} V \left(X\right)=V \left(Y\right)=\tau^2+\psi^2 \end{gather} また、共分散の公式より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)&=E \left(XY\right)-E \left(X\right)E \left(Y\right)\\ &=E \left(XY\right)-\mu \cdot \mu\\ &=E \left(XY\right)-\mu^2 \end{align} ここで、 \begin{align} E \left(XY\right)&=E \left[ \left(\theta+\varepsilon_1\right) \left(\theta+\varepsilon_2\right)\right]\\ &=E \left[\theta^2+ \left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)\theta+\varepsilon_1\varepsilon_2\right]\\ &=E \left(\theta^2\right)+E \left[ \left(\varepsilon_1+\varepsilon_2\right)\theta\right]+E \left(\varepsilon_1\varepsilon_2\right)\\ \end{align} 確率変数が独立なとき、$E \left(ab\right)=E \left(a\right)E \left(b\right)$ が成り立つので、 \begin{align} E \left(XY\right)&=E \left(\theta^2\right)+ \left\{E \left(\varepsilon_1\right)+E \left(\varepsilon_2\right)\right\}E \left(\theta\right)+E \left(\varepsilon_1\right)E \left(\varepsilon_2\right)\\ &=V \left(\theta\right)+ \left\{E \left(\theta\right)\right\}^2+ \left\{E \left(\varepsilon_1\right)+E \left(\varepsilon_2\right)\right\}E \left(\theta\right)+E \left(\varepsilon_1\right)E \left(\varepsilon_2\right)\\ &=\tau^2+\mu^2+ \left(0+0\right)\mu+0 \cdot 0\\ &=\tau^2+\mu^2 \end{align} したがって、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)&=\tau^2+\mu^2-\mu^2\\ &=\tau^2 \end{align} これと〔1〕での計算から、 \begin{align} \tau^2=108 \end{align} \begin{gather} \tau^2+\psi^2=144\\ 108+\psi^2=144\\ \psi^2=36 \end{gather} $\blacksquare$
〔4〕変動効果モデルの下での条件付き分布
〔2〕の結果より、 \begin{gather} \left.Y\right|X=132 \sim \mathrm{N} \left(129,63\right)\\ \Leftrightarrow \left.\theta+\varepsilon_2\right|X=132 \sim \mathrm{N} \left(129,63\right) \end{gather} このとき、期待値と分散は、 \begin{gather} E \left(\theta+\varepsilon_2\middle| X=132\right)=E \left(\theta\middle| X=132\right)+E \left(\varepsilon_2\middle| X=132\right)\\ 129=E \left(\theta\middle| X=132\right)+0\\ E \left(\theta\middle| X=132\right)=129 \end{gather} \begin{gather} V \left(\theta+\varepsilon_2\middle| X=132\right)=V \left(\theta\middle| X=132\right)+V \left(\varepsilon_2\middle| X=132\right)\\ 63=V \left(\theta\middle| X=132\right)+36\\ V \left(\theta\middle| X=132\right)=27 \end{gather} 正規分布の線形変換の性質より、 \begin{align} \left.\theta\right|X=132 \sim \mathrm{N} \left(129,27\right) \end{align} $\blacksquare$
〔5〕変動効果モデルの下での2回目の測定値の分布
変動効果モデルの下で \begin{gather} \left.\theta\right|X=132 \sim \mathrm{N} \left(129,27\right) \quad \varepsilon_2 \sim \mathrm{N} \left(0,36\right)\\ Y=\theta+\varepsilon_2 \end{gather} 正規分布の再生性より、 \begin{gather} \left.Y\right|X=132 \sim \mathrm{N} \left(129,63\right) \end{gather}
$X=132$ の人の2回目の測定値 $Y$ の条件付き期待値が全平均に近づく理由は、1回目の測定値が $X=x \left( \gt \mu\right)$ となった人の真値 $\theta$ の分布は $x$ よりも小さな平均を持つ分布に従い、2回目の測定値はその $\theta$ の分布を反映しているためと言える。
このとき、 \begin{align} P \left( \left.Y \le 128\right|X=132\right)&=P \left(\frac{Y-129}{\sqrt{63}} \le \frac{128-129}{\sqrt{63}}\right)\\ &=P \left(Z \le -0.13\right)\\ &=0.4483 \end{align} $\blacksquare$
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