統計検定 1級 2022年 医薬生物学 問5 平均への回帰

本稿には、2022年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕相関がある場合の期待値と分散

二変量正規分布の周辺分布であることから、 $$\begin{array}{c}X\sim \mathrm{N}({\mu }_X,{\sigma }_X^2)Y\sim \mathrm{N}({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)\end{array}$$ すなわち、 $$\begin{array}{c}X\sim \mathrm{N}(120,144)Y\sim \mathrm{N}(120,144)\end{array}$$ ここで相関係数の定義式より、 $$\begin{array}{c}\rho =\frac{{\sigma }_{XY}}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}\\ {\sigma }_{XY}=\rho \cdot {\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y\end{array}$$ ここから共分散を求めると、 $$\begin{array}{c}{\sigma }_{XY}=0.75\cdot 12\cdot 12=108\end{array}$$ 期待値の性質より、 $$\begin{array}{rl}E\left(D\right)& =E(X-Y)\\ & =E\left(X\right)-E\left(Y\right)\\ & =120-120\\ & =0\end{array}$$ 分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}V\left(D\right)& =V(X-Y)\\ & =V\left(X\right)+V\left(Y\right)-2\mathrm{Cov}(X,Y)\\ & =144+144-2\cdot 108\\ & =72\end{array}$$ 正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{c}D\sim \mathrm{N}(0,72)\end{array}$$ このとき、 $$\begin{array}{rl}P(D\le -4)& =P(\frac{D-0}{\sqrt{72}}\le \frac{-4-0}{\sqrt{72}})\\ & =P(Z\le -0.47)\\ & =0.3192\end{array}$$ $◼$

〔2〕条件付き分布

測定値 $Y$ の条件付き分布を求めるのに必要な値を求めると、 $$\begin{array}{c}\beta =\frac{{\sigma }_{XY}}{{\sigma }_X^2}=\frac{108}{144}=0.75\\ \alpha ={\mu }_Y-\beta {\mu }_X=120-0.75\cdot 120=30\\ {\sigma }^2={\sigma }_Y^2-\frac{{\sigma }_{XY}^2}{{\sigma }_X^2}=144-\frac{{108}^2}{144}=63\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y\right|X=132)& =\alpha +\beta x\\ & =30+0.75\cdot 132\\ & =129\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left(Y\right|X=132)& ={\sigma }^2\\ & =63\end{array}$$ $$\begin{array}{c}Y|X=132\sim \mathrm{N}(129,63)\end{array}$$ このとき、 $$\begin{array}{rl}P(Y\le 128|X=132)& =P(\frac{Y-129}{\sqrt{63}}\le \frac{128-129}{\sqrt{63}})\\ & =P(Z\le -0.13)\\ & =0.4483\end{array}$$

平均への回帰とは、2回の測定 $(X,Y)$ において、1回目の測定値 $x$ が平均 ${\mu }_X=E\left(X\right)$ よりも大きい（小さい）個体の2回目の測定値の期待値 $E\left(Y\right|X=x)$ は ${\mu }_Y=E\left(Y\right)$ よりも大きい（小さい）ものの、差の絶対値 $|E\left(Y\right|X=x)-{\mu }_Y|$ は $|x-{\mu }_X|$ よりも小さいことをいう。平均への回帰分は3 mmHg とみなされる。 $◼$

〔3〕変動効果モデル

問題の仮定から $$\begin{array}{c}\theta \sim \mathrm{N}(\mu ,{\tau }^2){\epsilon }_i\sim \mathrm{N}(0,{\psi }^2)\\ X=\theta +{\epsilon }_{1}Y=\theta +{\epsilon }_2\end{array}$$ 正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{c}X\sim \mathrm{N}(\mu ,{\tau }^2+{\psi }^2)Y\sim \mathrm{N}(\mu ,{\tau }^2+{\psi }^2)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}V\left(X\right)=V\left(Y\right)={\tau }^2+{\psi }^2\end{array}$$ また、共分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)\\ & =E\left(XY\right)-\mu \cdot \mu \\ & =E\left(XY\right)-{\mu }^2\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{rl}E\left(XY\right)& =E\left[(\theta +{\epsilon }_1)(\theta +{\epsilon }_2)\right]\\ & =E[{\theta }^2+({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)\theta +{\epsilon }_1{\epsilon }_2]\\ & =E\left({\theta }^2\right)+E\left[({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)\theta \right]+E\left({\epsilon }_1{\epsilon }_2\right)\end{array}$$ 確率変数が独立なとき、$E\left(ab\right)=E\left(a\right)E\left(b\right)$ が成り立つので、 $$\begin{array}{rl}E\left(XY\right)& =E\left({\theta }^2\right)+\{E\left({\epsilon }_1\right)+E\left({\epsilon }_2\right)\}E\left(\theta \right)+E\left({\epsilon }_1\right)E\left({\epsilon }_2\right)\\ & =V\left(\theta \right)+{\left\{E\left(\theta \right)\right\}}^2+\{E\left({\epsilon }_1\right)+E\left({\epsilon }_2\right)\}E\left(\theta \right)+E\left({\epsilon }_1\right)E\left({\epsilon }_2\right)\\ & ={\tau }^2+{\mu }^2+(0+0)\mu +0\cdot 0\\ & ={\tau }^2+{\mu }^2\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& ={\tau }^2+{\mu }^2-{\mu }^2\\ & ={\tau }^2\end{array}$$ これと〔1〕での計算から、 $$\begin{array}{r}{\tau }^2=108\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{\tau }^2+{\psi }^2=144\\ 108+{\psi }^2=144\\ {\psi }^2=36\end{array}$$ $◼$

〔4〕変動効果モデルの下での条件付き分布

〔2〕の結果より、 $$\begin{array}{c}Y|X=132\sim \mathrm{N}(129,63)\\ \iff \theta +{\epsilon }_2|X=132\sim \mathrm{N}(129,63)\end{array}$$ このとき、期待値と分散は、 $$\begin{array}{c}E(\theta +{\epsilon }_2|X=132)=E\left(\theta \right|X=132)+E\left({\epsilon }_2\right|X=132)\\ 129=E\left(\theta \right|X=132)+0\\ E\left(\theta \right|X=132)=129\end{array}$$ $$\begin{array}{c}V(\theta +{\epsilon }_2|X=132)=V\left(\theta \right|X=132)+V\left({\epsilon }_2\right|X=132)\\ 63=V\left(\theta \right|X=132)+36\\ V\left(\theta \right|X=132)=27\end{array}$$ 正規分布の線形変換の性質より、 $$\begin{array}{r}\theta |X=132\sim \mathrm{N}(129,27)\end{array}$$ $◼$

〔5〕変動効果モデルの下での2回目の測定値の分布

変動効果モデルの下で $$\begin{array}{c}\theta |X=132\sim \mathrm{N}(129,27){\epsilon }_2\sim \mathrm{N}(0,36)\\ Y=\theta +{\epsilon }_2\end{array}$$ 正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{c}Y|X=132\sim \mathrm{N}(129,63)\end{array}$$

$X=132$ の人の2回目の測定値 $Y$ の条件付き期待値が全平均に近づく理由は、1回目の測定値が $X=x(>\mu )$ となった人の真値 $\theta$ の分布は $x$ よりも小さな平均を持つ分布に従い、2回目の測定値はその $\theta$ の分布を反映しているためと言える。

このとき、 $$\begin{array}{rl}P(Y\le 128|X=132)& =P(\frac{Y-129}{\sqrt{63}}\le \frac{128-129}{\sqrt{63}})\\ & =P(Z\le -0.13)\\ & =0.4483\end{array}$$ $◼$

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