ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題6.6 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題6.6」の自作解答例です。積二項尤度にもとづく共通オッズ比のロジスティック回帰モデルの適用についての問題です。特に、回帰係数に関する有効スコア検定と層別解析におけるコクラン検定の同等性は非常に重要です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題6.6.1：スコア関数

積二項尤度の基本式より、$k$ 番目の層について、 $$\begin{array}{r}L({\pi }_{1k},{\pi }_{2k})={}_{n_{1k}}{C}_{a_k}{\pi }_{1k}^{a_k}{(1-{\pi }_{1k})}^{c_k}\cdot {}_{n_{2k}}{C}_{b_k}{\pi }_{2k}^{b_k}{(1-{\pi }_{2k})}^{d_k}\end{array}$$ 対数尤度関数の定義式 $l(\theta ,\mathit{x})=\log L(\theta ,\mathit{x})$ より、定数項を無視すると、 $$\begin{array}{rl}l({\pi }_{1k},{\pi }_{2k})& =\log [{}_{n_{1k}}{C}_{a_k}{\pi }_{1k}^{a_k}{(1-{\pi }_{1k})}^{c_k}\cdot {}_{n_{2k}}{C}_{b_k}{\pi }_{2k}^{b_k}{(1-{\pi }_{2k})}^{d_k}]\\ & =\log {}_{n_{1k}}{C}_{a_k}+{\alpha }_k\log {\pi }_{1k}+c_k\log (1-{\pi }_{1k})+\log {}_{n_{2k}}{C}_{b_k}+b_k\log {\pi }_{2k}+d_k\log (1-{\pi }_{2k})\\ & =a_k\log {\pi }_{1k}+c_k\log (1-{\pi }_{1k})+b_k\log {\pi }_{2k}+d_k\log (1-{\pi }_{2k})\end{array}$$ この尤度をパラメータ ${\alpha }_k,\beta$ で表すと、 $$\begin{array}{rl}l({\alpha }_k,\beta )& =a_k\log \left(\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}\right)+c_k\log \left(\frac{1}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}\right)+b_k\log \left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)+d_k\log \left(\frac{1}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)\\ & =a_k\log \left(e^{{\alpha }_k+\beta }\right)-a_k\log (1+e^{{\alpha }_k+\beta })-c_k\log (1+e^{{\alpha }_k+\beta })+b_k\log \left(e^{{\alpha }_k}\right)-b_k\log (1+e^{{\alpha }_k})-d_k\log (1+e^{{\alpha }_k})\\ & =a_k\log \left(e^{{\alpha }_k+\beta }\right)-(a_k+c_k)\log (1+e^{{\alpha }_k+\beta })+b_k\log \left(e^{{\alpha }_k}\right)-(b_k+d_k)\log (1+e^{{\alpha }_k})\\ & =a_k({\alpha }_k+\beta )-n_{1k}\log (1+e^{{\alpha }_k+\beta })+b_k{\alpha }_k-n_{2k}\log (1+e^{{\alpha }_k})\\ & =(a_k+b_k){\alpha }_k+a_k\beta -n_{1k}\log (1+e^{{\alpha }_k+\beta })-n_{2k}\log (1+e^{{\alpha }_k})\\ & =m_{1k}{\alpha }_k+a_k\beta -n_{1k}\log (1+e^{{\alpha }_k+\beta })-n_{2k}\log (1+e^{{\alpha }_k})\end{array}$$ 各層が独立なとき、全体としての尤度は、 $$\begin{array}{c}L\left(\mathit{\theta }\right)=\prod _{k=1}^{K}L({\alpha }_k,\beta )\mathit{\theta }=\left\{\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_K\\ \beta \end{array}\right\}\end{array}$$ 対数尤度は、 $$\begin{array}{r}l\left(\mathit{\theta }\right)=\sum _{k=1}^{K}l({\alpha }_k,\beta )\end{array}$$ これを ${\alpha }_k$ で偏微分すると、 $$\begin{array}{rl}{U}_{{\alpha }_k}\left(\mathit{\theta }\right)& =m_{1k}-n_{1k}\cdot \frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}-n_{2k}\cdot \frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\\ & =m_{1k}-n_{1k}{\pi }_{1k}-n_{2k}{\pi }_{2k}\end{array}$$ 同様に、$\beta$ で偏微分すると、 $$\begin{array}{rl}{U}_{\beta }\left(\mathit{\theta }\right)& =\sum _{i=1}^K(a_k-n_{1k}\cdot \frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }})\\ & =\sum _{i=1}^K(a_k-n_{1k}{\pi }_{1k})\end{array}$$ $◼$

問題6.6.2：ヘッセ行列

ヘッセ行列の成分の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{H}_{{\alpha }_k}\left(\mathit{\theta }\right)& =\frac{\partial }{\partial {\alpha }_k}{U}_{{\alpha }_k}\left(\mathit{\theta }\right)\\ & =-n_{1k}\cdot [\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}\right)}^2]-n_{2k}\cdot [\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]\\ & =-n_{1k}{\pi }_{1k}(1-{\pi }_{1k})-n_{2k}{\pi }_{2k}(1-{\pi }_{2k})\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{H}_{\beta }\left(\mathit{\theta }\right)& =\frac{\partial }{\partial \beta }{U}_{\beta }\left(\mathit{\theta }\right)\\ & =-\sum _{k=1}^K{n}_{1k}[\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}\right)}^2]\\ & =-\sum _{k=1}^K\left[n_{1k}{\pi }_{1k}(1-{\pi }_{1k})\right]\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{H}_{{\alpha }_k\beta }\left(\mathit{\theta }\right)& =\frac{\partial }{\partial {\alpha }_k}{U}_{\beta }\left(\mathit{\theta }\right)=\frac{\partial }{\partial \beta }{U}_{{\alpha }_k}\left(\mathit{\theta }\right)\\ & =-n_{1k}[\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k+\beta }}{1+e^{{\alpha }_k+\beta }}\right)}^2]\\ & =-n_{1k}{\pi }_{1k}(1-{\pi }_{1k})\end{array}$$ $◼$

問題6.6.3：帰無仮説のもとでのスコア方程式

帰無仮説 $H_0:\beta ={\beta }_0=0$ のもとでの ${\alpha }_k$ のスコア関数は、 $$\begin{array}{rl}{U}_{{\alpha }_k}\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)& =m_{1k}-n_{1k}\cdot \frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-n_{2k}\cdot \frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\\ & =m_{1k}-(n_{1k}+n_{2k})\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\\ & =m_{1k}-N\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\end{array}$$ 最尤推定量の定義式 $U\left(\hat{\theta }\right)=0$ より、 $$\begin{array}{c}0=m_{1k}-N\frac{e^{{\hat{\alpha }}_k}}{1+e^{{\hat{\alpha }}_k}}\\ \frac{e^{{\hat{\alpha }}_k}}{1+e^{{\hat{\alpha }}_k}}=\frac{m_{1k}}{N}\\ e^{{\hat{\alpha }}_k}=\frac{m_{1k}}{N}(1+e^{{\hat{\alpha }}_k})\\ (1-\frac{m_{1k}}{N})e^{{\hat{\alpha }}_k}=\frac{m_{1k}}{N}\\ e^{{\hat{\alpha }}_k}=\frac{m_{1k}}{m_{2k}}\\ {\hat{\alpha }}_k=\log \frac{m_{1k}}{m_{2k}}\end{array}$$ 同様に、帰無仮説のもとでの $\beta$ のスコア関数は、 $$\begin{array}{rl}{U}_{\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)& =\sum _{i=1}^K(a_k-n_{1k}\cdot \frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}})\end{array}$$ スコア方程式 $U\left(\hat{\theta }\right)=0$ を求めると、 $$\begin{array}{c}0=\sum _{i=1}^K(a_k-n_{1k}\cdot \frac{e^{{\hat{\alpha }}_k}}{1+e^{{\hat{\alpha }}_k}})\\ 0=\sum _{i=1}^K(a_k-n_{1k}\cdot \frac{\frac{m_{1k}}{m_{2k}}}{1+\frac{m_{1k}}{m_{2k}}})\\ 0=\sum _{i=1}^K(a_k-n_{1k}\cdot \frac{m_{1k}}{m_{2k}+m_{1k}})\\ 0=\sum _{i=1}^K(a_k-\frac{n_{1k}{m}_{1k}}{N})\end{array}$$ $◼$

問題6.6.4：帰無仮説のもとでの推定情報行列

帰無仮説 $H_0:{\pi }_{1k}={\pi }_{2k}={\pi }_k$ のもとでのヘッセ行列の成分は、 $$\begin{array}{rl}{H}_{{\alpha }_k}\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)& =-n_{1k}\cdot [\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]-n_{2k}\cdot [\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]\\ & =-N_k[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]\\ & =-N_k[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]\\ & =-N_k{\pi }_k(1-{\pi }_k)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{H}_{\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)& =-\sum _{k=1}^K{n}_{1k}[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]\\ & =-\sum _{k=1}^K{n}_{1k}{\pi }_k(1-{\pi }_k)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{H}_{{\alpha }_k\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)& =-n_{1k}[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]\\ & =-n_{1k}{\pi }_k(1-{\pi }_k)\end{array}$$ 二項分布における期待情報行列 $\mathit{I}\left(\mathit{\theta }\right)=\mathit{i}\left(\mathit{\theta }\right)=-\mathit{H}\left(\mathit{\theta }\right)$ の成分は、 $$\begin{array}{c}{I}_{{\alpha }_k}\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)=N_k[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]=N_k{\pi }_k(1-{\pi }_k)\\ I_{\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)=\sum _{k=1}^K{n}_{1k}[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]=\sum _{k=1}^K{n}_{1k}{\pi }_k(1-{\pi }_k)\\ I_{{\alpha }_k\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)=n_{1k}[\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}-{\left(\frac{e^{{\alpha }_k}}{1+e^{{\alpha }_k}}\right)}^2]=-n_{1k}{\pi }_k(1-{\pi }_k)\end{array}$$ この最尤推定量は、${\hat{\alpha }}_k=\log \frac{m_{1k}}{m_{2k}}$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}{I}_{{\alpha }_k}\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)=N_k\frac{m_{1k}}{N_k}(1-\frac{m_{1k}}{N_k})=\frac{m_{1k}{m}_{2k}}{N_k}\\ I_{\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)=\sum _{k=1}^K{n}_{1k}\frac{m_{1k}}{N_k}(1-\frac{m_{1k}}{N_k})=\sum _{k=1}^K\frac{n_{1k}{m}_{1k}{m}_{2k}}{N_k}\\ I_{{\alpha }_k\beta }\left({\mathit{\theta }}_{\mathbf{0}}\right)=n_{1k}\frac{m_{1k}}{N_k}(1-\frac{m_{1k}}{N_k})=\frac{n_{1k}{m}_{1k}{m}_{2k}}{N_k}\end{array}$$ $◼$

問題6.6.5：帰無仮説のもとでの漸近分散

$◼$

問題6.6.6：有効スコア検定

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参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.299-300
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.280-282

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