ロジスティック・モデル

本稿では、関心のあるイベントの発生確率の予測などに用いられるロジスティック回帰モデルのうち、最も単純（共変量が1つの場合）なロジスティック・モデルについて、定義式の紹介、発症確率とロジスティック関数の関係、対数オッズ比と回帰係数の関係の証明などを行っています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

ロジスティック・モデル

マッチングなしのコホート研究において、対数発症オッズ（発症確率のロジット）について、 $$\begin{array}{c}\log \left(\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\right)=\alpha +\beta \iff \frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}=e^{\alpha +\beta }\\ \log \left(\frac{{\pi }_0}{1-{\pi }_0}\right)=\alpha \iff \frac{{\pi }_0}{1-{\pi }_0}=e^{\alpha }\end{array}$$ が成り立つとする 統計モデルをロジット連結モデル logit link model、または、ロジスティック・モデル logistice model という。

このとき、曝露群・非曝露群の発症確率は、ロジスティック関数として、 $$\begin{array}{c}{\pi }_1=\frac{e^{\alpha +\beta }}{1+e^{\alpha +\beta }}1-{\pi }_1=\frac{1}{1+e^{\alpha +\beta }}\\ {\pi }_0=\frac{e^{\alpha }}{1+e^{\alpha }}1-{\pi }_0=\frac{1}{1+e^{\alpha }}\end{array}$$ で与えられる。 また、発症オッズ比 $\phi =\mathrm{OR}$ は、 $$\begin{array}{r}\log \phi =\beta \iff \phi =e^{\beta }\end{array}$$ で与えられる。

証明：ロジスティック関数

非曝露群のオッズの定義式より、 $$\begin{array}{c}\frac{{\pi }_0}{1-{\pi }_0}=e^{\alpha }\\ {\pi }_0=e^{\alpha }(1-{\pi }_0)\\ (1+e^{\alpha }){\pi }_0=e^{\alpha }\\ {\pi }_0=\frac{e^{\alpha }}{1+e^{\alpha }}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}1-{\pi }_0& =1-\frac{e^{\alpha }}{1+e^{\alpha }}\\ & =\frac{1+e^{\alpha }-e^{\alpha }}{1+e^{\alpha }}\\ & =\frac{1}{1+e^{\alpha }}\end{array}$$ 同様に、曝露群のオッズの定義式より、 $$\begin{array}{c}\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}=e^{\alpha +\beta }\\ {\pi }_1=e^{\alpha +\beta }(1-{\pi }_1)\\ (1+e^{\alpha +\beta }){\pi }_1=e^{\alpha +\beta }\\ {\pi }_1=\frac{e^{\alpha +\beta }}{1+e^{\alpha +\beta }}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}1-{\pi }_1& =1-\frac{e^{\alpha +\beta }}{1+e^{\alpha +\beta }}\\ & =\frac{1+e^{\alpha +\beta }-e^{\alpha +\beta }}{1+e^{\alpha +\beta }}\\ & =\frac{1}{1+e^{\alpha +\beta }}\end{array}$$ $◼$

証明：対数オッズ比と回帰係数の関係

対数オッズ比の定義式より、 $$\begin{array}{rl}\log \phi & =\log (\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{1-{\pi }_0}{{\pi }_0})\\ & =\log \frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}-\log \frac{{\pi }_0}{1-{\pi }_0}\\ & =\log e^{\alpha +\beta }-\log e^{\alpha }\\ & =\alpha +\beta -\alpha \\ & =\beta \end{array}$$ 両辺の指数を取ると、 $$\begin{array}{r}\beta =\log \phi \end{array}$$ $◼$

対数リスクモデル

マッチングなしのコホート研究において、曝露群・非曝露群の発症確率について、 $$\begin{array}{c}\log {\pi }_1=\alpha +\beta \\ \log {\pi }_0=\alpha \end{array}$$ が成り立つとする統計モデルを対数リスクモデルという。

このとき、曝露群・非曝露群の発症確率は、 $$\begin{array}{c}{\pi }_1=e^{\alpha +\beta }1-{\pi }_0=1-e^{\alpha +\beta }\\ {\pi }_2=e^{\alpha }1-{\pi }_0=1-e^{\alpha }\end{array}$$ で与えられる。 また、発症リスク比 $\phi =\mathrm{RR}$ は、 $$\begin{array}{r}\log \mathrm{RR}=\beta \iff \mathrm{RR}=e^{\beta }\end{array}$$ で与えられる。

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.268-269

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