カイ2乗分布の期待値・分散と最頻値の導出（逆数の期待値の導出付き）

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{x^\frac{n}{2} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} t=\frac{x}{2}\Leftrightarrow x=2t\\ \frac{dx}{dt}=2\Rightarrow dx=2dt\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad t:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{ \left(2t\right)^\frac{n}{2} \cdot e^{-t} \cdot 2dt}\\ &=\frac{2}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot 2^\frac{n}{2}\int_{0}^{\infty}{t^\frac{n}{2} \cdot e^{-t}dt}\\ &=\frac{2}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{n}{2}+1\right)-1} \cdot e^{-t}dt} \end{align} ガンマ関数の定義式 $\Gamma \left(\alpha\right)=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n}{2}+1$ とすると、 \begin{align} E \left(X\right)=\frac{2}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right) \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha+1\right)=\alpha\Gamma \left(\alpha\right)$ より、$\alpha=\frac{n}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(X\right)&=\frac{2}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)\\ &=n \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\int_{-\infty}^{0}{x^2 \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{x^2f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{x^2 \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\frac{n}{2}+1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx} \end{align} （i）と同様の変数変換をすると、置換積分法により、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{ \left(2t\right)^{\frac{n}{2}+1} \cdot e^{-t} \cdot 2dt}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot 2^{\frac{n}{2}+2}\int_{0}^{\infty}{t^{\frac{n}{2}+1} \cdot e^{-t}dt}\\ &=\frac{4}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{n}{2}+2\right)-1} \cdot e^{-t}dt} \end{align} ガンマ関数の定義式 $\Gamma \left(\alpha\right)=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n}{2}+2$ とすると、 \begin{align} E \left(X^2\right)=\frac{4}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}+2\right) \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha+2\right)=\alpha \left(\alpha+1\right)\Gamma \left(\alpha\right)$ より、$\alpha=\frac{n}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\frac{4}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{n}{2} \left(\frac{n}{2}+1\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)\\ &=n^2+2n \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=n^2+2n-n^2\\ &=2n \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
$\chi^2$分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}} \end{align} モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=-\frac{n}{2} \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}-1} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(1-2\theta\right)\\ &=-\frac{n}{2} \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}-1} \cdot \left(-2\right)\\ &=n \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}-1} \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=n \left(1-0\right)^{-\frac{n}{2}-1}\\ &=n \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=n \left(-\frac{n}{2}-1\right) \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}-2} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(1-2\theta\right)\\ &=n \left(-\frac{n}{2}-1\right) \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}-2} \cdot \left(-2\right)\\ &= \left(n^2+2n\right) \left(1-2\theta\right)^{-\frac{n}{2}-2} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&= \left(n^2+2n\right) \left(1-0\right)^{-\frac{n}{2}-2}\\ &=n^2+2n \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=n^2+2n-n^2\\ &=2n \end{align} $\blacksquare$

ガンマ分布の期待値と分散の公式より、 \begin{gather} E(X)=\frac{\alpha}{\beta}\\ V \left(X\right)=\frac{\alpha}{\beta^2} \end{gather} $\chi^2$分布とガンマ分布の関係より、 \begin{align} \chi^2 \left(n\right)=\mathrm{Ga} \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right) \end{align} したがって、 \begin{gather} E \left(Y\right)=\frac{n}{2} \cdot 2=n\\ V \left(Y\right)=\frac{n}{2} \cdot 4=2n \end{gather} $\blacksquare$

$\chi^2$分布の確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \end{align} 1階微分を求めると、積の微分公式より、 \begin{align} f^\prime \left(x\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left\{e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{n}{2}-1}\right)+x^{\frac{n}{2}-1} \cdot \frac{d}{dx} \left(e^{-\frac{x}{2}}\right)\right\}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left\{ \left(\frac{n}{2}-1\right)x^{\frac{n}{2}-2} \cdot e^{-\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \cdot x^{\frac{n}{2}-1}\right\}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-2} \cdot e^{-\frac{x}{2}} \left\{ \left(\frac{n}{2}-1\right)-\frac{1}{2}x\right\}\\ &=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}+1} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}e^{-\frac{x}{2}} \cdot x^{\frac{n}{2}-2} \left(n-2-x\right) \end{align} 極値 $f^\prime \left(x\right)=0$ を求めると、 \begin{gather} x^{\frac{n}{2}-2} \left(n-2-x\right)=0\\ x=0\ \quad \ x=n-2 \end{gather} 増減表は、 \begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & n-2 & \cdots \\ \hline f^\prime \left(x\right) & 0 & + & 0 & - \\ \hline f \left(x\right) & 0 & \nearrow & f \left(n-2\right) & \searrow \\ \end{array} したがって、$3 \le n$ のとき、$0 \le x$ の範囲で、 \begin{align} x=n-2 \end{align} が極大、かつ最大である。 $\blacksquare$

（i）逆数の期待値
$X$ の逆数の取り得る値の範囲は、 \begin{align} 0 \le x\Rightarrow0 \le \frac{1}{x} \end{align} 期待値の定義式 $E \left(\frac{1}{X}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(\frac{1}{X}\right)&=\int_{-\infty}^{0}{\frac{1}{x} \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x} \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{ \left(\frac{n}{2}-1\right)-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n}{2}-1,\beta=\frac{1}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(\frac{1}{X}\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\Gamma \left(\frac{n}{2}-1\right)2^{\frac{n}{2}-1}\\ &=\frac{1}{2 \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\Gamma \left(\frac{n}{2}-1\right) \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha\right)= \left(\alpha-1\right)\Gamma \left(\alpha-1\right)$ より、$\alpha=\frac{n}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(\frac{1}{X}\right)&=\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{2 \left(\frac{n}{2}-1\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\\ &=\frac{1}{n-2} \end{align} $\blacksquare$

（ii）逆数の平方根の期待値
期待値の定義式 $E \left(\frac{1}{\sqrt X}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(\frac{1}{\sqrt X}\right)&=\int_{-\infty}^{0}{\frac{1}{\sqrt x} \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt x} \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt x} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\frac{n-1}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n-1}{2},\beta=\frac{1}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(\frac{1}{\sqrt X}\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)2^\frac{n-1}{2}\\ &=\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}-1\right)}{\sqrt2 \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \end{align} $\blacksquare$

（iii）2乗の逆数の期待値
期待値の定義式 $E \left(\frac{1}{X^2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(\frac{1}{X^2}\right)&=\int_{-\infty}^{0}{\frac{1}{x^2} \cdot 0dx}+\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \cdot f \left(x\right)dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{ \left(\frac{n}{2}-2\right)-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx} \end{align} ガンマ関数の公式 $\frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n}{2}-2,\beta=\frac{1}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(\frac{1}{X^2}\right)&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\Gamma \left(\frac{n}{2}-2\right)2^{\frac{n}{2}-2}\\ &=\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}-2\right)}{4 \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\alpha\right)= \left(\alpha-1\right) \left(\alpha-2\right)\Gamma \left(\alpha-2\right)$ より、$\alpha=\frac{n}{2}$ とすると、 \begin{align} E \left(\frac{1}{X^2}\right)&=\frac{1}{4 \cdot \left(\frac{n}{2}-1\right) \left(\frac{n}{2}-2\right)}\\ &=\frac{1}{ \left(n-2\right) \left(n-4\right)} \end{align} $\blacksquare$