カイ2乗分布の期待値・分散と最頻値の導出（逆数の期待値の導出付き）

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}x\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{n}{2}}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}t=\frac{x}{2}\iff x=2t\\ \frac{dx}{dt}=2\Rightarrow dx=2dt\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow t:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(2t\right)}^{\frac{n}{2}}\cdot e^{-t}\cdot 2dt\\ & =\frac{2}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot 2^{\frac{n}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{n}{2}}\cdot e^{-t}dt\\ & =\frac{2}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{(\frac{n}{2}+1)-1}\cdot e^{-t}dt\end{array}$$ ガンマ関数の定義式 $\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-x}dx$ より、$\alpha =\frac{n}{2}+1$ とすると、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\frac{2}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、$\alpha =\frac{n}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{2}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \frac{n}{2}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)\\ & =n\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{x}^2\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{2}f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{n}{2}+1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}$$ （i）と同様の変数変換をすると、置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(2t\right)}^{\frac{n}{2}+1}\cdot e^{-t}\cdot 2dt\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot 2^{\frac{n}{2}+2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{n}{2}+1}\cdot e^{-t}dt\\ & =\frac{4}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{(\frac{n}{2}+2)-1}\cdot e^{-t}dt\end{array}$$ ガンマ関数の定義式 $\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-x}dx$ より、$\alpha =\frac{n}{2}+2$ とすると、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=\frac{4}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+2)\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)=\alpha (\alpha +1)\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、$\alpha =\frac{n}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{4}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)\\ & =n^2+2n\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =n^2+2n-n^2\\ & =2n\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
${\chi }^2$分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}}\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =-\frac{n}{2}{(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}-1}\cdot \frac{d}{d\theta }(1-2\theta )\\ & =-\frac{n}{2}{(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}-1}\cdot (-2)\\ & =n{(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}-1}\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =n{(1-0)}^{-\frac{n}{2}-1}\\ & =n\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =n(-\frac{n}{2}-1){(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}-2}\cdot \frac{d}{d\theta }(1-2\theta )\\ & =n(-\frac{n}{2}-1){(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}-2}\cdot (-2)\\ & =(n^2+2n){(1-2\theta )}^{-\frac{n}{2}-2}\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =(n^2+2n){(1-0)}^{-\frac{n}{2}-2}\\ & =n^2+2n\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =n^2+2n-n^2\\ & =2n\end{array}$$ $◼$

ガンマ分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E(X)=\frac{\alpha }{\beta }\\ V\left(X\right)=\frac{\alpha }{{\beta }^2}\end{array}$$ ${\chi }^2$分布とガンマ分布の関係より、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2\left(n\right)=\mathrm{Ga}(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}E\left(Y\right)=\frac{n}{2}\cdot 2=n\\ V\left(Y\right)=\frac{n}{2}\cdot 4=2n\end{array}$$ $◼$

${\chi }^2$分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\end{array}$$ 1階微分を求めると、積の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\{e^{-\frac{x}{2}}\cdot \frac{d}{dx}\left(x^{\frac{n}{2}-1}\right)+x^{\frac{n}{2}-1}\cdot \frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{x}{2}}\right)\}\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\{(\frac{n}{2}-1)x^{\frac{n}{2}-2}\cdot e^{-\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}\}\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-2}\cdot e^{-\frac{x}{2}}\{(\frac{n}{2}-1)-\frac{1}{2}x\}\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}+1}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot x^{\frac{n}{2}-2}(n-2-x)\end{array}$$ 極値 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ を求めると、 $$\begin{array}{c}{x}^{\frac{n}{2}-2}(n-2-x)=0\\ x=0x=n-2\end{array}$$ 増減表は、 $$\begin{array}{ccccc}x& 0& \cdots & n-2& \cdots \\ f^{\prime }\left(x\right)& 0& +& 0& -\\ f\left(x\right)& 0& \nearrow & f(n-2)& \searrow \end{array}$$ したがって、$3\le n$ のとき、$0\le x$ の範囲で、 $$\begin{array}{r}x=n-2\end{array}$$ が極大、かつ最大である。 $◼$

（i）逆数の期待値
$X$ の逆数の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}0\le x\Rightarrow 0\le \frac{1}{x}\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(\frac{1}{X}\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{X}\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{x}\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{(\frac{n}{2}-1)-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$ より、$\alpha =\frac{n}{2}-1,\beta =\frac{1}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{X}\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}-1)2^{\frac{n}{2}-1}\\ & =\frac{1}{2\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}-1)\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)=(\alpha -1)\mathrm{\Gamma }(\alpha -1)$ より、$\alpha =\frac{n}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{X}\right)& =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{2(\frac{n}{2}-1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\\ & =\frac{1}{n-2}\end{array}$$ $◼$

（ii）逆数の平方根の期待値
期待値の定義式 $E\left(\frac{1}{\sqrt{X}}\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{\sqrt{X}}\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{n-1}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$ より、$\alpha =\frac{n-1}{2},\beta =\frac{1}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{\sqrt{X}}\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n-1}{2}\right)2^{\frac{n-1}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}-1)}{\sqrt{2}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\end{array}$$ $◼$

（iii）2乗の逆数の期待値
期待値の定義式 $E\left(\frac{1}{X^2}\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{X^2}\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{x^2}\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{(\frac{n}{2}-2)-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx$ より、$\alpha =\frac{n}{2}-2,\beta =\frac{1}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{X^2}\right)& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}-2)2^{\frac{n}{2}-2}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}-2)}{4\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)=(\alpha -1)(\alpha -2)\mathrm{\Gamma }(\alpha -2)$ より、$\alpha =\frac{n}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{1}{X^2}\right)& =\frac{1}{4\cdot (\frac{n}{2}-1)(\frac{n}{2}-2)}\\ & =\frac{1}{(n-2)(n-4)}\end{array}$$ $◼$