ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題5.7 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題5.7」の自作解答例です。条件付き二項分布にもとづくマクネマー検定統計量の導出に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題5.7.1：帰無仮説のもとでの条件付き二項分布①

問題5.5の結果より、漸近的に、 $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{N}[\frac{M{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{M{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$ 対称性の帰無仮説 $H_0:{\pi }_{12}={\pi }_{21}=\pi$ のもとでは、 $$\begin{array}{c}\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}=\frac{\pi }{\pi +\pi }=\frac{1}{2}\\ \frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}=\frac{\pi \cdot \pi }{{(\pi +\pi )}^2}=\frac{1}{4}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{N}(\frac{M}{2},\frac{M}{4})\end{array}$$ $◼$

問題5.7.2：帰無仮説のもとでの条件付き二項分布②

線形変換の性質より、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\frac{f}{M}=p_f\sim \mathrm{N}(\frac{1}{2},\frac{1}{4M})\end{array}$$ $◼$

問題5.7.3：マクネマー検定統計量

帰無仮説のもとで、「発症あり・発症なし」の標本確率を標準化した値は、 $$\begin{array}{c}2\sqrt{M}(\frac{f}{M}-\frac{1}{2})=Z_M\sim (0,1)\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{rl}{Z}_M& =2\sqrt{M}\left(\frac{2f-M}{2M}\right)\\ & =\frac{2f-M}{\sqrt{M}}\\ & =\frac{2f-(f+g)}{\sqrt{f+g}}\\ & =\frac{f-g}{\sqrt{f+g}}\end{array}$$ これを2乗した値は、 $$\begin{array}{c}\frac{{(f-g)}^2}{f+g}={\chi }_M^2\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ $◼$

問題5.7.4：対数条件付きオッズ比の漸近分散―条件付き二項分布にもとづく考え方

不一致な応答の総数 $M=f+g$ が固定されているとの仮定のもとで、応答不一致のペア数 $f,g$ は、 $$\begin{array}{c}f\sim \mathrm{B}(M,\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}})\\ g\sim \mathrm{B}(M,\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}})\end{array}$$ 二項分布の正規近似により、漸近的に $$\begin{array}{c}f\sim \mathrm{N}[\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}M,\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}M]\\ g\sim \mathrm{N}[\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}M,\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}M]\end{array}$$ 線形変換の性質より、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{p}_{12}\sim N[\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\\ p_{21}\sim N[\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$ ここで、和の分散の公式より、 $$\begin{array}{r}V(p_{12}+p_{21})=V\left(p_{12}\right)+V\left(p_{21}\right)+2\mathrm{Cov}(p_{12},p_{21})\end{array}$$ 不一致な応答の総数が固定されているとの仮定のもとで $$\begin{array}{r}{p}_{12}+p_{21}=\frac{f}{M}+\frac{g}{M}=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}V\left(1\right)=\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}+\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}+2\mathrm{Cov}(p_{12},p_{21})\\ 0=\frac{2{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}+2\mathrm{Cov}(p_{12},p_{21})\\ \mathrm{Cov}(p_{12},p_{21})=-\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\end{array}$$ ここで、標本比率ベクトルを $$\begin{array}{r}\mathit{p}=\left(\begin{array}{c}{p}_{12}\\ p_{21}\end{array}\right)\end{array}$$ 期待値ベクトルを $$\begin{array}{r}\mathit{\pi }=\left(\begin{array}{c}{\pi }_{12}\\ {\pi }_{21}\end{array}\right)\end{array}$$ 分散・共分散行列を $$\begin{array}{r}\mathbf{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}& -\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\\ -\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}& \frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\end{array}\right]\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{c}G\left(\mathit{\pi }\right)=\theta =\log \frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}\\ G\left(\mathit{p}\right)=\hat{\theta }=\log \frac{p_{12}}{p_{21}}\end{array}$$ と変数変換する。 多変量のデルタ法を用いて $G\left(\mathit{p}\right)$ を期待値 $E\left(\mathit{p}\right)=\mathit{\pi }$ まわりでテイラー展開すると、偏導関数ベクトルは、 $$\begin{array}{r}\mathit{H}\left(\mathit{\pi }\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{G\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial {\pi }_1}\\ \frac{G\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial {\pi }_2}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\pi }_{12}}\\ -\frac{1}{{\pi }_{21}}\end{array}\right]\end{array}$$ 多変量のデルタ法の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left[G\left(\mathit{p}\right)\right]\cong G\left(\mathit{\pi }\right)=\log \frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[G\left(\mathit{p}\right)\right]& =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{{\pi }_{12}}& -\frac{1}{{\pi }_{21}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}& -\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\\ -\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}& \frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\pi }_{12}}\\ -\frac{1}{{\pi }_{21}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{{\pi }_{12}}& -\frac{1}{{\pi }_{21}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{M({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\\ -\frac{1}{M({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{M{\pi }_{12}({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}+\frac{1}{M{\pi }_{21}({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}\\ & =\frac{1}{M({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}(\frac{1}{{\pi }_{12}}+\frac{1}{{\pi }_{21}})\end{array}$$ 母比率 ${\pi }_i$ を一致推定量である標本比率 $p_i$ で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}\hat{V}\left[\hat{\theta }\right]& =\frac{1}{M(p_{12}+p_{21})}(\frac{1}{p_{12}}+\frac{1}{p_{21}})\\ & =\frac{1}{M{p}_{12}}+\frac{1}{M{p}_{21}}\\ & =\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.259-260

関連記事

• 交絡への対処法①：マッチング
• 統計的仮説検定