平均発生率の差に関する優越性試験のサンプルサイズ設計の公式

帰無仮説をいいかえると、 $$\begin{array}{c}{H}_0:{\lambda }_1={\lambda }_0=\lambda \end{array}$$

標本平均発生率の差の漸近分布は、対立仮説の下で $$\begin{array}{r}\hat{\delta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\mathrm{\Delta },\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_0}{\tau }]\end{array}$$ 帰無仮説の下で $$\begin{array}{r}\hat{\delta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,\frac{2\lambda }{\tau }]\end{array}$$ 帰無仮説の下での共通の平均発生率の推定値は、 $$\begin{array}{r}\lambda =\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_0}{2}\end{array}$$ したがって、検定統計量の分散について、 $$\begin{array}{c}\frac{{\varphi }_0^2}{\tau }=\frac{2\lambda }{\tau }\\ {\varphi }_0^2=2\lambda \\ {\varphi }_0=\sqrt{2\lambda }\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\frac{{\varphi }_1^2}{\tau }=\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_0}{\tau }\\ {\varphi }_1^2={\lambda }_1+{\lambda }_0\\ {\varphi }_1=\sqrt{{\lambda }_1+{\lambda }_0}\end{array}$$ これをサンプルサイズの設計公式に代入すると、 $$\begin{array}{r}\tau ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{2\lambda }-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{{\lambda }_1+{\lambda }_0}}{{\lambda }_1-{\lambda }_0}\right]}^2\end{array}$$

特に、曝露時間の分布 $\left\{t_i\right\},\left\{t_j\right\}$ は平均を $$\begin{array}{c}{\eta }_t\end{array}$$ とし、 2つのグループ内の被験者間で同じであると仮定する。このとき、 $$\begin{array}{c}E\left(T_1\right)=E\left(T_0\right)=N{\eta }_t\end{array}$$ となる。 この場合、 $$\begin{array}{c}\frac{{\varphi }_0^2}{N}=\frac{2\lambda }{N{\eta }_t}\\ {\varphi }_0^2=\frac{2\lambda }{{\eta }_t}\\ {\varphi }_0=\frac{\sqrt{2\lambda }}{\sqrt{{\eta }_t}}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\frac{{\varphi }_1^2}{N}=\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_0}{N{\eta }_t}\\ {\varphi }_1^2=\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_0}{{\eta }_t}\\ {\varphi }_1=\frac{\sqrt{{\lambda }_1+{\lambda }_0}}{\sqrt{{\eta }_t}}\end{array}$$ これをサンプルサイズの設計公式に代入すると、 $$\begin{array}{r}N={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{2\lambda }-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{{\lambda }_1+{\lambda }_0}}{\sqrt{{\eta }_t}({\lambda }_1-{\lambda }_0)}\right]}^2\end{array}$$ $◼$