平均発生率の差に関する優越性試験のサンプルサイズ設計の公式

帰無仮説をいいかえると、 \begin{gather} H_0:\lambda_1=\lambda_0=\lambda \end{gather}

標本平均発生率の差の漸近分布は、対立仮説の下で \begin{align} \hat{\delta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\Delta,\frac{\lambda_1+\lambda_0}{\tau}\right] \end{align} 帰無仮説の下で \begin{align} \hat{\delta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[0,\frac{2\lambda}{\tau}\right] \end{align} 帰無仮説の下での共通の平均発生率の推定値は、 \begin{align} \lambda=\frac{\lambda_1+\lambda_0}{2} \end{align} したがって、検定統計量の分散について、 \begin{gather} \frac{\phi_0^2}{\tau}=\frac{2\lambda}{\tau}\\ \phi_0^2=2\lambda\\ \phi_0=\sqrt{2\lambda} \end{gather} \begin{gather} \frac{\phi_1^2}{\tau}=\frac{\lambda_1+\lambda_0}{\tau}\\ \phi_1^2=\lambda_1+\lambda_0\\ \phi_1=\sqrt{\lambda_1+\lambda_0} \end{gather} これをサンプルサイズの設計公式に代入すると、 \begin{align} \tau= \left[\frac{Z_\alpha \cdot \sqrt{2\lambda}-Z_{1-\beta} \cdot \sqrt{\lambda_1+\lambda_0}}{\lambda_1-\lambda_0}\right]^2 \end{align}

特に、曝露時間の分布 $ \left\{t_i\right\}, \left\{t_j\right\}$ は平均を \begin{gather} \eta_t \end{gather} とし、 2つのグループ内の被験者間で同じであると仮定する。このとき、 \begin{gather} E \left(T_1\right)=E \left(T_0\right)=N\eta_t \end{gather} となる。 この場合、 \begin{gather} \frac{\phi_0^2}{N}=\frac{2\lambda}{N\eta_t}\\ \phi_0^2=\frac{2\lambda}{\eta_t}\\ \phi_0=\frac{\sqrt{2\lambda}}{\sqrt{\eta_t}} \end{gather} \begin{gather} \frac{\phi_1^2}{N}=\frac{\lambda_1+\lambda_0}{N\eta_t}\\ \phi_1^2=\frac{\lambda_1+\lambda_0}{\eta_t}\\ \phi_1=\frac{\sqrt{\lambda_1+\lambda_0}}{\sqrt{\eta_t}} \end{gather} これをサンプルサイズの設計公式に代入すると、 \begin{align} N= \left[\frac{Z_\alpha \cdot \sqrt{2\lambda}-Z_{1-\beta} \cdot \sqrt{\lambda_1+\lambda_0}}{\sqrt{\eta_t} \left(\lambda_1-\lambda_0\right)}\right]^2 \end{align} $\blacksquare$