対応のない連続値データ

本稿では、介入研究などにおける対応のない連続値データのデータ形式や基本統計量などについての定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
• 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,{\pi }_0$ など）や「2」である場合（$n_2,{\pi }_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。

 

データの形式

曝露群と非曝露群に関する連続値変数が互いに独立に任意の分布 $$\begin{array}{r}X\sim {\mathrm{D}}_{\mathrm{X}}({\mu }_X,{\sigma }_X^2)Y\sim {\mathrm{D}}_{\mathrm{Y}}({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)\end{array}$$ に従い、 各群のサンプルサイズを $$\begin{array}{c}n(=n_X)m(=n_Y)\\ N=n+m(=n_X+n_Y)\end{array}$$ 母集団分布からの互いに独立な無作為標本を $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\mathit{Y}=\{Y_1,X_2,\cdots ,Y_m\}\end{array}$$ とする。

基本統計量

標本平均

$$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots +X_n)\\ \overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{Y}_j=\frac{1}{m}(Y_1+Y_2+\cdots +Y_m)\end{array}$$

標本分散・標本不偏分散

標本分散 $$\begin{array}{c}{S}_X^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2{S}_Y^2=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{(Y_j-\overline{Y})}^2\end{array}$$ 標本不偏分散 $$\begin{array}{c}{s}_X^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2{s}_Y^2=\frac{1}{m-1}\sum _{j=1}^m{(Y_j-\overline{Y})}^2\end{array}$$

平均の差

$$\begin{array}{c}\delta =\mathrm{MD}={\mu }_X-{\mu }_Y\\ \hat{\delta }=\widehat{\mathrm{MD}}=\overline{X}-\overline{Y}\end{array}$$

検定仮説

帰無仮説

$$\begin{array}{c}{H}_0:{\mu }_X={\mu }_Y\end{array}$$

対立仮説

①両側仮説 $$\begin{array}{c}{H}_1:{\mu }_X\ne {\mu }_Y\end{array}$$ ②右側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\mu }_X>{\mu }_Y\end{array}$$ ③左側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\mu }_X<{\mu }_Y\end{array}$$

 

参考文献

• 東京大学教養学部統計学教室 編. 基礎統計学 1 統計学入門. 東京大学出版会, 1991, p.175-186