本稿では、ケース・コントロール研究の研究デザインのうち、①マッチングなし、②層化なしのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
分割表の形式
発症群と非発症群の観察対象人数をそれぞれ、 \begin{gather} n_1 \quad n_0\\ N=n_1+n_0 \end{gather} 曝露者と曝露者の人数をそれぞれ、 \begin{gather} m_1 \quad m_0\\ N=m_1+m_0 \end{gather} 発症群と非発症群の曝露人数をそれぞれ、 \begin{gather} a \quad b \end{gather} 発症群と非発症群の非曝露人数をそれぞれ、 \begin{gather} c \quad d \end{gather} とする。
| 曝露あり $ \left(D\right)$ | 曝露なし $(\bar{D})$ | 合計 | |
|---|---|---|---|
| ケース群 $ \left(E\right)$ | $a$ | $c$ | $n_1$ |
| コントロール群 $(\bar{E})$ | $b$ | $d$ | $n_0$ |
| 合計 | $m_1$ | $m_0$ | $N$ |
統計モデル①：積二項モデル
ケース群とコントロール群の曝露人数 $a,b$ が互いに独立に、試行回数がそれぞれ \begin{align} n_1 \quad n_0 \end{align} 母比率（曝露確率）がそれぞれ \begin{align} \phi_1=P \left(E\middle| D\right) \quad \phi_0=P \left(\bar{E}\middle| D\right) \end{align} である 二項分布 \begin{align} a \sim \mathrm{B} \left(n_1,\phi_1\right) \quad b \sim \mathrm{B} \left(n_0,\phi_0\right) \end{align} に従うとする。
| 曝露あり $ \left(E\right)$ | 曝露なし $(\bar{E})$ | 合計 | |
|---|---|---|---|
| ケース群 $ \left(D\right)$ | $\phi_1$ | $1-\phi_1$ | $1$ |
| コントロール群 $(\bar{D})$ | $\phi_0$ | $1-\phi_0$ | $1$ |
積二項尤度
\begin{align} H_0:\phi_1=\phi_0 \left(=\phi\right) \quad \mathrm{vs.} \quad H_1:\phi_1 \neq \phi_0 \end{align} として、 \begin{gather} L_1 \left(\phi_1,\phi_0\right)={}_{n_1}C_a\phi_1^a \left(1-\phi_1\right)^{n_1-a} \cdot {}_{n_0}C_b\phi_0^b \left(1-\phi_0\right)^{n_0-b}\\ L_0 \left(\phi\right)={}_{n_1}C_a \cdot {}_{n_0}C_b \cdot \phi^{a+b} \left(1-\phi\right)^{n_1+n_0-a-b} \end{gather}
全体の有病割合を用いた表現
全体の有病割合 $\delta$ を用いて得られた分割表を書き直すと、以下のようになる。
|
曝露あり $ \left(E\right)$ |
曝露なし $(\bar{E})$ | 合計 | |
|---|---|---|---|
|
ケース群 $ \left(D\right)$ | $\delta\phi_1$ | $\delta \left(1-\phi_1\right)$ | $\delta$ |
|
コントロール群 $(\bar{D})$ | $ \left(1-\delta\right)\phi_0$ | $ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)$ | $1-\delta$ |
| 合計 |
$\delta\phi_1$ $+$ $ \left(1-\delta\right)\phi_0$ |
$\delta \left(1-\phi_1\right)$ $+$ $ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)$ | $1$ |
統計モデル②：超幾何分布モデル
周辺度数 \begin{gather} n_1 \quad n_0 \quad m_1 \quad m_0 \end{gather} が固定されているという条件の下で、 発症群の曝露人数 $a$ が超幾何分布 \begin{align} a \sim \mathrm{HG} \left(N,n_1,m_1\right) \end{align} に従うとする。
超幾何尤度
\begin{gather} H_0:\varphi=1 \quad \mathrm{vs.} \quad H_1:\varphi \neq 1\\ \varphi=\mathrm{OR} \end{gather} として、 \begin{align} L_1 \left(\varphi\right)&=\frac{{}_{n_1}C_a \cdot {}_{n_0}C_{m_1-a} \cdot \varphi^a}{\sum_{i=a_l}^{a_u}{{}_{n_1}C_i \cdot {}_{n_0}C_{m_1-i} \cdot \varphi^i}}\\ L_0 \left(\varphi\right)&=\frac{{}_{n_1}C_a \cdot {}_{N-n_1}C_{m_1-a}}{{}_{N}C_{m_1}}\\ &=\frac{n_1!n_0!m_1!m_0!}{N!a!b!c!d!} \end{align}
統計モデル③：四項分布モデル
各セルの観測値 \begin{align} \boldsymbol{n}= \left(\begin{matrix}a\\b\\c\\d\\\end{matrix}\right) \end{align} が四項分布
\begin{gather} \boldsymbol{n} \sim \mathrm{MN} \left(N,\boldsymbol{\pi}\right)\\ \boldsymbol{\pi}= \left(\begin{matrix}\pi_{11}\\\pi_{12}\\\pi_{21}\\\pi_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather} に従うとする。
| 発症あり $ \left(D\right)$ | 発症なし $(\bar{D})$ | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 曝露群 $ \left(E\right)$ | $\phi_{11}$ | $\phi_{12}$ | $\phi_E$ |
| 非曝露群 $(\bar{E})$ | $\phi_{21}$ | $\phi_{22}$ | $1-\phi_E$ |
| 合計 | $\phi_D$ | $1-\phi_D$ | $1$ |
四項尤度
\begin{align} L \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{N!}{e!f!g!h!}\phi_{11}^e\phi_{12}^f\phi_{21}^g\phi_{22}^h \end{align}
曝露効果の指標
曝露オッズ
\begin{gather} {\mathrm{OD}}_1=\frac{\phi_1}{1-\phi_1} \quad {\mathrm{OD}}_0=\frac{\phi_0}{1-\phi_0}\\ {\mathrm{\widehat{OD}}}_1=\frac{{\hat{\phi}}_1}{1-{\hat{\phi}}_1}=\frac{a}{c} \quad {\mathrm{\widehat{OD}}}_0=\frac{{\hat{\phi}}_0}{1-{\hat{\phi}}_0}=\frac{b}{d} \end{gather}
曝露オッズ比
\begin{gather} \delta=\mathrm{OR}=\frac{{\mathrm{OD}}_1}{{\mathrm{OD}}_0}=\frac{\phi_1}{1-\phi_1} \cdot \frac{1-\phi_0}{\phi_0}\\ \hat{\delta}=\mathrm{\widehat{OR}}=\frac{{\mathrm{\widehat{OD}}}_1}{{\mathrm{\widehat{OD}}}_0}=\frac{{\hat{\phi}}_1}{1-{\hat{\phi}}_1} \cdot \frac{1-{\hat{\phi}}_0}{{\hat{\phi}}_0}=\frac{ad}{bc} \end{gather}
検定仮説
帰無仮説
\begin{gather} H_0:\phi_1=\phi_0\Leftrightarrow H_0:\mathrm{OR}=1 \end{gather}
対立仮説
①両側仮説 \begin{gather} H_1:\phi_1 \neq \phi_0\Leftrightarrow H_0:\mathrm{OR} \neq 1 \end{gather} ②右側仮説 \begin{align} H_1:\phi_1 \gt \phi_0 \end{align} ③左側仮説 \begin{align} H_1:\phi_1 \lt \phi_0 \end{align}
参考文献
- ケネス・ロスマン 著, 矢野 栄二, 橋本 英樹, 大脇 和浩 監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.238
- 丹後 俊郎, 松井 茂之 編集. 医学統計学ハンドブック. 朝倉書店, 2018, p.506
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.216
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