ケース・コントロール研究（マッチングなし・層化なし）

本稿では、ケース・コントロール研究の研究デザインのうち、①マッチングなし、②層化なしのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

分割表の形式

発症群と非発症群の観察対象人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{n}_1{n}_0\\ N=n_1+n_0\end{array}$$ 曝露者と曝露者の人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{m}_1{m}_0\\ N=m_1+m_0\end{array}$$ 発症群と非発症群の曝露人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}ab\end{array}$$ 発症群と非発症群の非曝露人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}cd\end{array}$$ とする。

統計モデル①：積二項モデル

ケース群とコントロール群の曝露人数 $a,b$ が互いに独立に、試行回数がそれぞれ $$\begin{array}{r}{n}_1{n}_0\end{array}$$ 母比率（曝露確率）がそれぞれ $$\begin{array}{r}{\varphi }_1=P\left(E\right|D){\varphi }_0=P\left(\overline{E}\right|D)\end{array}$$ である 二項分布 $$\begin{array}{r}a\sim \mathrm{B}(n_1,{\varphi }_1)b\sim \mathrm{B}(n_0,{\varphi }_0)\end{array}$$ に従うとする。

積二項尤度

$$\begin{array}{r}{H}_0:{\varphi }_1={\varphi }_0(=\varphi )\mathrm{vs}.H_1:{\varphi }_1\ne {\varphi }_0\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{c}{L}_1({\varphi }_1,{\varphi }_0)={}_{n_1}{C}_a{\varphi }_1^a{(1-{\varphi }_1)}^{n_1-a}\cdot {}_{n_0}{C}_b{\varphi }_0^b{(1-{\varphi }_0)}^{n_0-b}\\ L_0\left(\varphi \right)={}_{n_1}{C}_a\cdot {}_{n_0}{C}_b\cdot {\varphi }^{a+b}{(1-\varphi )}^{n_1+n_0-a-b}\end{array}$$

全体の有病割合を用いた表現

全体の有病割合 $\delta$ を用いて得られた分割表を書き直すと、以下のようになる。

統計モデル②：超幾何分布モデル

周辺度数 $$\begin{array}{c}{n}_1{n}_0{m}_1{m}_0\end{array}$$ が固定されているという条件の下で、 発症群の曝露人数 $a$ が超幾何分布 $$\begin{array}{r}a\sim \mathrm{HG}(N,n_1,m_1)\end{array}$$ に従うとする。

超幾何尤度

$$\begin{array}{c}{H}_0:\phi =1\mathrm{vs}.H_1:\phi \ne 1\\ \phi =\mathrm{OR}\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{rl}{L}_1\left(\phi \right)& =\frac{{}_{n_1}{C}_a\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-a}\cdot {\phi }^a}{\sum _{i=a_l}^{a_u}{}_{n_1}{C}_i\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-i}\cdot {\phi }^i}\\ L_0\left(\phi \right)& =\frac{{}_{n_1}{C}_a\cdot {}_{N-n_1}{C}_{m_1-a}}{{}_N{C}_{m_1}}\\ & =\frac{n_1!n_0!m_1!m_0!}{N!a!b!c!d!}\end{array}$$

統計モデル③：四項分布モデル

各セルの観測値 $$\begin{array}{r}\mathit{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right)\end{array}$$ が四項分布

$$\begin{array}{c}\mathit{n}\sim \mathrm{MN}(N,\mathit{\pi })\\ \mathit{\pi }=\left(\begin{array}{c}{\pi }_{11}\\ {\pi }_{12}\\ {\pi }_{21}\\ {\pi }_{22}\end{array}\right)\end{array}$$ に従うとする。

四項尤度

$$\begin{array}{r}L\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{N!}{e!f!g!h!}{\varphi }_{11}^e{\varphi }_{12}^f{\varphi }_{21}^g{\varphi }_{22}^h\end{array}$$

曝露効果の指標

曝露オッズ

$$\begin{array}{c}{\mathrm{OD}}_1=\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}{\mathrm{OD}}_0=\frac{{\varphi }_0}{1-{\varphi }_0}\\ {\widehat{\mathrm{OD}}}_1=\frac{{\hat{\varphi }}_1}{1-{\hat{\varphi }}_1}=\frac{a}{c}{\widehat{\mathrm{OD}}}_0=\frac{{\hat{\varphi }}_0}{1-{\hat{\varphi }}_0}=\frac{b}{d}\end{array}$$

曝露オッズ比

$$\begin{array}{c}\delta =\mathrm{OR}=\frac{{\mathrm{OD}}_1}{{\mathrm{OD}}_0}=\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{1-{\varphi }_0}{{\varphi }_0}\\ \hat{\delta }=\widehat{\mathrm{OR}}=\frac{{\widehat{\mathrm{OD}}}_1}{{\widehat{\mathrm{OD}}}_0}=\frac{{\hat{\varphi }}_1}{1-{\hat{\varphi }}_1}\cdot \frac{1-{\hat{\varphi }}_0}{{\hat{\varphi }}_0}=\frac{ad}{bc}\end{array}$$

検定仮説

帰無仮説

$$\begin{array}{c}{H}_0:{\varphi }_1={\varphi }_0\iff H_0:\mathrm{OR}=1\end{array}$$

対立仮説

①両側仮説 $$\begin{array}{c}{H}_1:{\varphi }_1\ne {\varphi }_0\iff H_0:\mathrm{OR}\ne 1\end{array}$$ ②右側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\varphi }_1>{\varphi }_0\end{array}$$ ③左側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\varphi }_1<{\varphi }_0\end{array}$$

参考文献

• ケネス・ロスマン 著, 矢野 栄二, 橋本 英樹, 大脇 和浩 監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.238
• 丹後 俊郎, 松井 茂之 編集. 医学統計学ハンドブック. 朝倉書店, 2018, p.506
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.216