標本対数発症リスク比の漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{p}_1\sim \mathrm{N}[{\pi }_1,\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}]\\ p_0\sim \mathrm{N}[{\pi }_0,\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n_0}]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}g\left({\pi }_i\right)=\log {\pi }_i\\ g\left(p_i\right)=\log p_i\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g\left(p_i\right)$ を期待値 $E\left(p_i\right)={\pi }_i$ まわりでテイラー展開すると、$g\left(p_i\right)$ の1階微分は、 $$\begin{array}{r}{g}^{\prime }\left(p_i\right)=\frac{1}{p_i}\end{array}$$ よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{g\left(p_i\right)\right\}& \cong E\left[g\left({\pi }_i\right)\right]\\ & =\log {\pi }_i\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[g\left(p_i\right)\right]& \cong {\left\{g^{\prime }\left({\pi }_i\right)\right\}}^{2}V\left(p_i\right)\\ & =\frac{1}{{\pi }_i^2}\cdot \frac{{\pi }_i(1-{\pi }_i)}{n_i}\\ & =\frac{1-{\pi }_i}{n_i{\pi }_i}\end{array}$$ スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}\log p_i\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log {\pi }_i,\frac{1-{\pi }_i}{n_i{\pi }_i}]\end{array}$$ このとき、標本対数発症リスク比は、 $$\begin{array}{r}\log \widehat{\mathrm{RR}}=\log \frac{p_1}{p_0}=\log p_1-\log p_0\end{array}$$ したがって、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}\log \widehat{\mathrm{RR}}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log {\pi }_1-\log {\pi }_0,\frac{1-{\pi }_1}{n_1{\pi }_1}+\frac{1-{\pi }_0}{n_0{\pi }_0}]\end{array}$$ 母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、期待値と分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{c}\hat{E}[\log \widehat{\mathrm{RR}}]=\log p_1-\log p_2\\ \hat{V}(\log \widehat{\mathrm{RR}})=\frac{1-p_1}{n_1{p}_1}+\frac{1-p_0}{n_0{p}_0}\end{array}$$ 分散についてさらに式を整理すると、$a=n_1{p}_1,b=n_2{p}_2$ より、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_1^2& =\frac{1-p_1}{a}+\frac{1-p_0}{b}\\ & =\frac{1}{a}-\frac{p_1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{p_0}{b}\\ & =\frac{1}{a}-\frac{1}{n_1}+\frac{1}{b}-\frac{1}{n_0}\end{array}$$

〔2〕帰無仮説の下での漸近分布
${\pi }_1={\pi }_0=\pi$ を代入すると、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\log \widehat{\mathrm{RR}}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,\frac{1-\pi }{\pi }(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0})]\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{a+b}{n_1+n_0}=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ これを用いて、母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_0^2& =\frac{1-\hat{\pi }}{\hat{\pi }}\cdot \frac{N}{n_1{n}_0}\\ & =\frac{N}{m_1}\cdot \frac{m_0}{N}\cdot \frac{N}{n_1{n}_0}\\ & =\frac{m_0}{m_1}\cdot \frac{N}{n_1{n}_0}\end{array}$$ $◼$