本稿では、ケース・コントロール研究の研究デザインのうち、①マッチングあり、②層化なしのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
分割表の形式
指示変数 $j$ を任意の被験者の発症状況を表す変数
\begin{align}
j= \left\{\begin{matrix}1&\mathrm{Disease} \left(D\right)\\0&\mathrm{Not\ disease}(\bar{D})\\\end{matrix}\right.
\end{align}
とし、
発症者1人に対し、背景因子の水準が同程度の非発症者を1人マッチングし、計2人のペアを作る。
このペアの総数（サンプルサイズ）を
\begin{align}
N
\end{align}
とし、曝露状況について調べる。
指示変数 $Y$ を $i$ 番目のペアの $j$ 番目のメンバーの曝露状況を表す変数
\begin{align}
y_{ij}= \left\{\begin{matrix}1&\mathrm{Exposed} \left(E\right)\\0&\mathrm{Unexposed}(\bar{E})\\\end{matrix}\right.
\end{align}
とする。
このとき、各ペアの発症・曝露状況は、
発症者・非発症者＝①曝露あり・曝露あり、②曝露あり・曝露なし、
③曝露なし・曝露あり、④曝露なし・曝露なし
\begin{gather}
\left(y_{i1},y_{i0}\right)= \left(1,1\right), \left(1,0\right), \left(0,1\right), \left(0,0\right)
\end{gather}
のいずれかに分類される。
それぞれの発症・曝露状況に該当するペアの数を
\begin{gather}
e \left(=n_{11}\right) \quad f \left(=n_{12}\right) \quad g \left(=n_{21}\right) \quad h \left(=n_{22}\right)
\end{gather}
とする。
また、周辺度数として、
①発症者が曝露したペア、②発症者が曝露しなかったペア、
③非発症者が曝露したペア、④非発症者が曝露しなかったペア
が得られる。
それぞれの合計ペア数を
\begin{gather}
n_{DE} \left(=n_{1\bullet }\right) \quad n_{D\bar{E}} \left(=n_{0\bullet }\right) \quad n_{\bar{D}E} \left(=n_{\bullet 1}\right) \quad n_{\bar{D}\bar{E}} \left(=n_{\bullet 0}\right)
\end{gather}
とする。
| 非発症者 $(\bar{D})$ | 合計 | |||
|---|---|---|---|---|
| 曝露あり $(E)$ | 曝露なし $(\bar{E})$ | |||
|
発症者 $(D)$ | 曝露あり $(E)$ | $e$ $ \left(=n_{11}\right)$ | $f$ $ \left(=n_{12}\right)$ | $n_{DE}$ $ \left(=n_{1\bullet }\right)$ |
| 曝露なし $(\bar{E})$ | $g$ $ \left(=n_{21}\right)$ | $h$ $ \left(=n_{22}\right)$ | $n_{D\bar{E}}$ $ \left(=n_{0\bullet }\right)$ | |
| 合計 | $n_{\bar{D}E}$ $ \left(=n_{\bullet 1}\right)$ | $n_{\bar{D}\bar{E}}$ $ \left(=n_{\bullet 0}\right)$ | $N$ | |
統計モデル①：四項分布モデル
各セルの観測値 \begin{align} \boldsymbol{n}= \left(\begin{matrix}e\\f\\g\\h\\\end{matrix}\right) \end{align} が四項分布
\begin{gather} \boldsymbol{n} \sim \mathrm{MN} \left(N,\boldsymbol{\pi}\right)\\ \boldsymbol{\pi}= \left(\begin{matrix}\pi_{11}\\\pi_{12}\\\pi_{21}\\\pi_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather} に従うとする。
| 非発症者 $(\bar{D})$ | 合計 | |||
|---|---|---|---|---|
| 曝露あり $(E)$ | 曝露なし $(\bar{E})$ | |||
|
発症者 $(D)$ | 曝露あり $(E)$ | $\phi_{11}$ | $\phi_{12}$ | $\phi_{DE}$ $ \left(=\pi_{1\bullet }\right)$ |
| 曝露なし $(\bar{E})$ | $\phi_{21}$ | $\phi_{22}$ | $\phi_{D\bar{E}}$ $ \left(=\pi_{0\bullet }\right)$ | |
| 合計 | $\phi_{\bar{D}E}$ $ \left(=\phi_{\bullet 1}\right)$ | $\phi_{\bar{D}\bar{E}}$ $ \left(=\phi_{\bullet 0}\right)$ | $1$ | |
四項尤度
\begin{align} L \left(\boldsymbol{\phi}\right)=\frac{N!}{e!f!g!h!}\phi_{11}^e\phi_{12}^f\phi_{21}^g\phi_{22}^h \end{align}
統計モデル②：条件付き二項分布モデル
この考え方では、①抽出したものが不一致な応答であり、②応答の総数 \begin{gather} M=f+g \end{gather} が固定されていると仮定する。 この条件の下で、「曝露あり・曝露なし」のペア数 $f$ が \begin{align} f \sim \mathrm{B} \left(M,\frac{\phi_{12}}{\phi_{12}+\phi_{21}}\right) \end{align} に従うとする。
条件付き二項尤度
\begin{align} L \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{M!}{f!g!} \left(\frac{\phi_{12}}{\phi_{12}+\phi_{21}}\right)^f \left(\frac{\phi_{21}}{\phi_{12}+\phi_{21}}\right)^g \end{align}
曝露効果の指標
標本比率
\begin{gather} {\hat{\phi}}_{11}=\frac{e}{N} \quad {\hat{\phi}}_{12}=\frac{f}{N}\\ {\hat{\phi}}_{21}=\frac{g}{N} \quad {\hat{\phi}}_{22}=\frac{h}{N} \end{gather}
条件付き周辺曝露オッズ比
\begin{gather} {\mathrm{OR}}_z=\frac{\phi_{ \left.12\right|z}}{\phi_{ \left.21\right|z}}\\ \end{gather}
条件付き曝露オッズ比
\begin{gather} {\mathrm{OR}}_C=\frac{\phi_{12}}{\phi_{21}}\\ {\mathrm{\widehat{OR}}}_C=\frac{{\hat{\phi}}_{12}}{{\hat{\phi}}_{21}}=\frac{f}{g} \end{gather}
母集団平均発症リスク比
\begin{gather} {\mathrm{RR}}_A=\frac{\phi_{1\bullet }}{\phi_{\bullet 1}}=\frac{\phi_{11}+\phi_{12}}{\phi_{11}+\phi_{21}}\\ {\mathrm{\widehat{RR}}}_A=\frac{{\hat{\phi}}_{1\bullet }}{{\hat{\phi}}_{\bullet 1}}=\frac{{\hat{\phi}}_{11}+{\hat{\phi}}_{12}}{{\hat{\phi}}_{11}+{\hat{\phi}}_{21}}=\frac{e+f}{e+g}=\frac{n_{1\bullet }}{n_{\bullet 1}} \end{gather}
検定仮説
帰無仮説
周辺化同質性の帰無仮説 \begin{gather} H_0:\phi_{1\bullet }=\phi_{\bullet 1} \end{gather} これは、対称性の帰無仮説 \begin{gather} H_0:\phi_{12}=\phi_{21} \end{gather} と同値である。
対立仮説
①両側仮説 \begin{gather} H_1:\phi_{12} \neq \phi_{21} \end{gather} ②右側仮説 \begin{align} H_1:\phi_{12} \gt \phi_{21} \end{align} ③左側仮説 \begin{align} H_1:\phi_{12} \lt \phi_{21} \end{align}
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.236
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