ケース・コントロール研究（マッチングあり・層化なし）

本稿では、ケース・コントロール研究の研究デザインのうち、①マッチングあり、②層化なしのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

分割表の形式

指示変数 $j$ を任意の被験者の発症状況を表す変数 $$\begin{array}{r}j=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{Disease}\left(D\right)\\ 0& \mathrm{Not}\mathrm{disease}(\overline{D})\end{array}\end{array}$$ とし、 発症者1人に対し、背景因子の水準が同程度の非発症者を1人マッチングし、計2人のペアを作る。
このペアの総数（サンプルサイズ）を $$\begin{array}{r}N\end{array}$$ とし、曝露状況について調べる。 指示変数 $Y$ を $i$ 番目のペアの $j$ 番目のメンバーの曝露状況を表す変数 $$\begin{array}{r}{y}_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{Exposed}\left(E\right)\\ 0& \mathrm{Unexposed}(\overline{E})\end{array}\end{array}$$ とする。

このとき、各ペアの発症・曝露状況は、 発症者・非発症者＝①曝露あり・曝露あり、②曝露あり・曝露なし、
③曝露なし・曝露あり、④曝露なし・曝露なし $$\begin{array}{c}(y_{i1},y_{i0})=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)\end{array}$$ のいずれかに分類される。 それぞれの発症・曝露状況に該当するペアの数を $$\begin{array}{c}e(=n_{11})f(=n_{12})g(=n_{21})h(=n_{22})\end{array}$$ とする。

また、周辺度数として、 ①発症者が曝露したペア、②発症者が曝露しなかったペア、
③非発症者が曝露したペア、④非発症者が曝露しなかったペア が得られる。 それぞれの合計ペア数を $$\begin{array}{c}{n}_{DE}(=n_{1\bullet })n_{D\overline{E}}(=n_{0\bullet })n_{\overline{D}E}(=n_{\bullet 1})n_{\overline{D}\overline{E}}(=n_{\bullet 0})\end{array}$$ とする。

統計モデル①：四項分布モデル

各セルの観測値 $$\begin{array}{r}\mathit{n}=\left(\begin{array}{c}e\\ f\\ g\\ h\end{array}\right)\end{array}$$ が四項分布

$$\begin{array}{c}\mathit{n}\sim \mathrm{MN}(N,\mathit{\pi })\\ \mathit{\pi }=\left(\begin{array}{c}{\pi }_{11}\\ {\pi }_{12}\\ {\pi }_{21}\\ {\pi }_{22}\end{array}\right)\end{array}$$ に従うとする。

四項尤度

$$\begin{array}{r}L\left(\mathit{\varphi }\right)=\frac{N!}{e!f!g!h!}{\varphi }_{11}^e{\varphi }_{12}^f{\varphi }_{21}^g{\varphi }_{22}^h\end{array}$$

統計モデル②：条件付き二項分布モデル

この考え方では、①抽出したものが不一致な応答であり、②応答の総数 $$\begin{array}{c}M=f+g\end{array}$$ が固定されていると仮定する。 この条件の下で、「曝露あり・曝露なし」のペア数 $f$ が $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{B}(M,\frac{{\varphi }_{12}}{{\varphi }_{12}+{\varphi }_{21}})\end{array}$$ に従うとする。

条件付き二項尤度

$$\begin{array}{r}L\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{M!}{f!g!}{\left(\frac{{\varphi }_{12}}{{\varphi }_{12}+{\varphi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\varphi }_{21}}{{\varphi }_{12}+{\varphi }_{21}}\right)}^g\end{array}$$

曝露効果の指標

標本比率

$$\begin{array}{c}{\hat{\varphi }}_{11}=\frac{e}{N}{\hat{\varphi }}_{12}=\frac{f}{N}\\ {\hat{\varphi }}_{21}=\frac{g}{N}{\hat{\varphi }}_{22}=\frac{h}{N}\end{array}$$

条件付き周辺曝露オッズ比

$$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_z=\frac{{\varphi }_{12|z}}{{\varphi }_{21|z}}\end{array}$$

条件付き曝露オッズ比

$$\begin{array}{c}{\mathrm{OR}}_C=\frac{{\varphi }_{12}}{{\varphi }_{21}}\\ {\widehat{\mathrm{OR}}}_C=\frac{{\hat{\varphi }}_{12}}{{\hat{\varphi }}_{21}}=\frac{f}{g}\end{array}$$

母集団平均発症リスク比

$$\begin{array}{c}{\mathrm{RR}}_A=\frac{{\varphi }_{1\bullet }}{{\varphi }_{\bullet 1}}=\frac{{\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}}{{\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}}\\ {\widehat{\mathrm{RR}}}_A=\frac{{\hat{\varphi }}_{1\bullet }}{{\hat{\varphi }}_{\bullet 1}}=\frac{{\hat{\varphi }}_{11}+{\hat{\varphi }}_{12}}{{\hat{\varphi }}_{11}+{\hat{\varphi }}_{21}}=\frac{e+f}{e+g}=\frac{n_{1\bullet }}{n_{\bullet 1}}\end{array}$$

検定仮説

帰無仮説

周辺化同質性の帰無仮説 $$\begin{array}{c}{H}_0:{\varphi }_{1\bullet }={\varphi }_{\bullet 1}\end{array}$$ これは、対称性の帰無仮説 $$\begin{array}{c}{H}_0:{\varphi }_{12}={\varphi }_{21}\end{array}$$ と同値である。

対立仮説

①両側仮説 $$\begin{array}{c}{H}_1:{\varphi }_{12}\ne {\varphi }_{21}\end{array}$$ ②右側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\varphi }_{12}>{\varphi }_{21}\end{array}$$ ③左側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\varphi }_{12}<{\varphi }_{21}\end{array}$$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.236