本稿では、平均発生率を指標とするコホート研究における平均発生率・平均発生の差の信頼区間を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】平均発生率・平均発生の差の信頼区間
【定理】
平均発生率・平均発生の差の信頼区間
Confidence Interval for Incidence Rate and Incidence Rate Difference
平均発生率を指標とするマッチングなしのコホート研究における平均発生率の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、漸近的に \begin{gather} 100 \left(1-\alpha\right)\%\ \mathrm{C.I.}= \left[\lambda_{iL},\lambda_{iU}\right]\\ \lambda_{iL}={\hat{\lambda}}_i-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \lambda_{iU}={\hat{\lambda}}_i+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha}\\ {\hat{\sigma}}^2=\frac{d_i}{T_i^2} \quad \hat{\sigma}=\mathrm{\widehat{S.E.}} \left({\hat{\lambda}}_i\right) \end{gather} で与えられる。
平均発生率の差とその標本値を \begin{gather} \delta=\mathrm{IRD}=\lambda_1-\lambda_0\\ \hat{\delta}=\mathrm{\widehat{IRD}}={\hat{\lambda}}_1-{\hat{\lambda}}_0 \end{gather} とするとき、 平均発生率の差の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、漸近的に \begin{gather} 100 \left(1-\alpha\right)\%\ \mathrm{C.I.}= \left[\delta_L,\delta_U\right]\\ \delta_L=\hat{\delta}-\hat{\phi} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \delta_U=\hat{\delta}+\hat{\phi} \cdot Z_{0.5\alpha}\\ {\hat{\phi}}^2=\frac{d_1}{T_1^2}+\frac{d_0}{T_0^2} \quad \hat{\phi}=\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\delta}\right) \end{gather} で与えられる。
導出
各群の標本平均発生率の漸近分布は、 \begin{align} {\hat{\lambda}}_i \sim \mathrm{N} \left(\lambda_i,\frac{\lambda_i}{T_i}\right) \end{align} 標本平均発生率の分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left({\hat{\lambda}}_i\right)=\frac{d_i}{T_i^2} \end{align} 標本平均発生率の漸近的な標準誤差 $\mathrm{\widehat{S.E.}} \left({\hat{\lambda}}_i\right)=\hat{\sigma}$ は、 \begin{gather} \hat{\sigma}=\frac{\sqrt{d_i}}{T_i} \end{gather} したがって、各群の平均発生率の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 上下信頼限界は、 \begin{gather} \lambda_{iL}={\hat{\lambda}}_i-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \lambda_{iU}={\hat{\lambda}}_i+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather}
標本平均発生率の差の漸近分布は、 \begin{gather} \hat{\delta} \sim \mathrm{N} \left(\lambda_1-\lambda_0,\frac{\lambda_1}{T_1}+\frac{\lambda_0}{T_0}\right) \end{gather} 標本平均発生率の差の分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left(\hat{\delta}\right)=\frac{d_1}{T_1^2}+\frac{d_0}{T_0^2} \end{align} 標本平均発生率の漸近的な標準誤差 $\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\delta}\right)=\hat{\phi}$ は、 \begin{gather} \hat{\phi}=\sqrt{\frac{d_1}{T_1^2}+\frac{d_0}{T_0^2}} \end{gather} したがって、平均発生率の差の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 上下信頼限界は、 \begin{gather} \delta_L=\hat{\delta}-\hat{\phi} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \delta_U=\hat{\delta}+\hat{\phi} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- ケネス・ロスマン 著, 矢野 栄二, 橋本 英樹, 大脇 和浩 監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.236-237
- 丹後 俊郎, 松井 茂之 編集. 医学統計学ハンドブック. 朝倉書店, 2018, p.508
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