標本平均発生率の差の漸近分布

それぞれの標本平均発生率を以下のようにおくと、 \begin{align} {\hat{\lambda}}_1=\frac{d_1}{T_1} \quad {\hat{\lambda}}_0=\frac{d_0}{T_0} \end{align} ポアソン分布の正規近似により、各群の研究期間内のイベント発生数は漸近的に \begin{gather} d_i \sim \mathrm{N} \left(T_i\lambda_i,T_i\lambda_i\right)\\ i=0,1 \end{gather} 線形変換の性質より、 \begin{align} {\hat{\lambda}}_i \sim \mathrm{N} \left(\lambda_i,\frac{\lambda_i}{T_i}\right) \end{align} 母集団の平均発生率の差と標本平均発生率の差をそれぞれ \begin{gather} \delta=\lambda_1-\lambda_0\\ \hat{\delta}={\hat{\lambda}}_1-{\hat{\lambda}}_0 \end{gather} とおくと、 正規分布の再生性より、 \begin{gather} \hat{\delta} \sim \mathrm{N} \left(\lambda_1-\lambda_0,\frac{\lambda_1}{T_1}+\frac{\lambda_0}{T_0}\right) \end{gather} 母比率を一致推定量である標本平均発生率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_1^2&=\frac{{\hat{\lambda}}_1}{T_1}+\frac{{\hat{\lambda}}_0}{T_0}\\ &=\frac{d_1}{T_1^2}+\frac{d_0}{T_0^2} \end{align}

なお、漸近分散については、 \begin{align} V \left(\hat{\delta}\right)&=\frac{\lambda_1}{T_1}+\frac{\lambda_0}{T_0}\\ &=\frac{\lambda_1^2}{T_1\lambda_1}+\frac{\lambda_0^2}{T_0\lambda_1} \end{align}

ここで、二重同次ポアソンモデルを仮定すると、 \begin{gather} E \left(d_i\middle|\lambda_i\right)=T_i\lambda_i \end{gather} が成り立つので、 \begin{align} V \left(\hat{\delta}\right)=\frac{\lambda_1^2}{E \left(d_1\middle|\lambda_1\right)}+\frac{\lambda_0^2}{E \left(d_0\middle|\lambda_0\right)} \end{align} すなわち、二重同次ポアソンモデルの下での期待イベント数の関数となる。 $\blacksquare$