標本平均発生率の差の漸近分布

それぞれの標本平均発生率を以下のようにおくと、 $$\begin{array}{r}{\hat{\lambda }}_1=\frac{d_1}{T_1}{\hat{\lambda }}_0=\frac{d_0}{T_0}\end{array}$$ ポアソン分布の正規近似により、各群の研究期間内のイベント発生数は漸近的に $$\begin{array}{c}{d}_i\sim \mathrm{N}(T_i{\lambda }_i,T_i{\lambda }_i)\\ i=0,1\end{array}$$ 線形変換の性質より、 $$\begin{array}{r}{\hat{\lambda }}_i\sim \mathrm{N}({\lambda }_i,\frac{{\lambda }_i}{T_i})\end{array}$$ 母集団の平均発生率の差と標本平均発生率の差をそれぞれ $$\begin{array}{c}\delta ={\lambda }_1-{\lambda }_0\\ \hat{\delta }={\hat{\lambda }}_1-{\hat{\lambda }}_0\end{array}$$ とおくと、 正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\sim \mathrm{N}({\lambda }_1-{\lambda }_0,\frac{{\lambda }_1}{T_1}+\frac{{\lambda }_0}{T_0})\end{array}$$ 母比率を一致推定量である標本平均発生率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_1^2& =\frac{{\hat{\lambda }}_1}{T_1}+\frac{{\hat{\lambda }}_0}{T_0}\\ & =\frac{d_1}{T_1^2}+\frac{d_0}{T_0^2}\end{array}$$

なお、漸近分散については、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\delta }\right)& =\frac{{\lambda }_1}{T_1}+\frac{{\lambda }_0}{T_0}\\ & =\frac{{\lambda }_1^2}{T_1{\lambda }_1}+\frac{{\lambda }_0^2}{T_0{\lambda }_1}\end{array}$$

ここで、二重同次ポアソンモデルを仮定すると、 $$\begin{array}{c}E\left(d_i\right|{\lambda }_i)=T_i{\lambda }_i\end{array}$$ が成り立つので、 $$\begin{array}{r}V\left(\hat{\delta }\right)=\frac{{\lambda }_1^2}{E\left(d_1\right|{\lambda }_1)}+\frac{{\lambda }_0^2}{E\left(d_0\right|{\lambda }_0)}\end{array}$$ すなわち、二重同次ポアソンモデルの下での期待イベント数の関数となる。 $◼$