発症リスク差の信頼区間-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

発症リスク差の信頼区間

公開日： 2022/10/30

本稿では、横断研究やコホート研究における発症リスク差の信頼区間の導出を行っています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。

目次[非表示]

1.【定理】発症リスク差の信頼区間
- 1.1.導出
2.参考文献
3.関連記事

【定理】発症リスク差の信頼区間

【定理】
発症リスク差の信頼区間
Confidence Interval for Risk Difference

マッチングなしのコホート研究における発症リスク差を $\begin{matrix} δ = RD = π_{1} - π_{0} \\ \hat{δ} = \hat{RD} = {\hat{π}}_{1} - {\hat{π}}_{0} \end{matrix}$ とするとき、母集団の発症リスク差の $100 (1 - α) %$ 信頼区間は、漸近的に $\begin{matrix} 100 (1 - α) % C . I . = [δ_{L}, δ_{U}] \end{matrix}$ で与えられる。ただし、 $\begin{matrix} δ_{L} = \hat{δ} - \hat{σ} \cdot Z_{0.5 α} δ_{U} = \hat{δ} + \hat{σ} \cdot Z_{0.5 α} \\ {\hat{σ}}^{2} = \frac{{\hat{π}}_{1} (1 - {\hat{π}}_{1})}{n_{1}} + \frac{{\hat{π}}_{0} (1 - {\hat{π}}_{0})}{n_{0}} \hat{σ} = \hat{S . E .} (\hat{δ}) \end{matrix}$

導出

標本発症リスク差の漸近分布は、 $\begin{array}{r} \hat{δ} \overset{d}{\to} N [π_{1} - π_{0}, \frac{π_{1} (1 - π_{1})}{n_{1}} + \frac{π_{0} (1 - π_{0})}{n_{0}}] \end{array}$ 標本発症リスク差の分散の一致推定量は、 $\begin{array}{r} \hat{V} (\hat{δ}) = \frac{{\hat{π}}_{1} (1 - {\hat{π}}_{1})}{n_{1}} + \frac{{\hat{π}}_{0} (1 - {\hat{π}}_{0})}{n_{0}} \end{array}$ 標本発症リスク差の漸近的な標準誤差 $\hat{S . E .} (\hat{δ}) = \hat{σ}$ は、 $\begin{matrix} \hat{σ} = \sqrt{\frac{{\hat{π}}_{1} (1 - {\hat{π}}_{1})}{n_{1}} + \frac{{\hat{π}}_{0} (1 - {\hat{π}}_{0})}{n_{0}}} \end{matrix}$ したがって、母集団リスク差の $100 (1 - α) %$ 上下信頼限界は、 $\begin{matrix} δ_{L} = \hat{δ} - \hat{σ} \cdot Z_{0.5 α} δ_{U} = \hat{δ} + \hat{σ} \cdot Z_{0.5 α} \end{matrix}$ $◼$

参考文献

マーティン・ガードナー, ダグラス・アルトマン著, 舟喜光一, 折笠秀樹共訳. 信頼性の統計学：信頼区間および統計ガイドライン. サイエンティスト社, 2001, p.34-36
ケネス・ロスマン著, 矢野栄二, 橋本英樹, 大脇和浩監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.233-234
ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.23-24

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