標本発症リスク差の漸近分布

〔1〕対立仮説の下での漸近分布
二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_i\sim \mathrm{N}[{\pi }_i,\frac{{\pi }_i(1-{\pi }_i)}{n_i}]\end{array}$$ 標本リスク差を $\hat{\delta }={\hat{\pi }}_1-{\hat{\pi }}_0$ とすると、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}\hat{\delta }\sim \mathrm{N}\{{\pi }_1-{\pi }_0,\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}+\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n_0}\}\end{array}$$ 母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_1^2=\frac{{\hat{\pi }}_1(1-{\hat{\pi }}_1)}{n_1}+\frac{{\hat{\pi }}_0(1-{\hat{\pi }}_0)}{n_0}\end{array}$$

〔2〕帰無仮説の下での漸近分布
${\pi }_1={\pi }_0=\pi$ を代入すると、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\hat{\delta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,\pi (1-\pi )(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_0})]\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ の推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ これを用いて、母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_0^2& =\frac{m_1}{N}\cdot \frac{m_0}{N}\cdot \frac{n_1+n_0}{n_1{n}_0}\\ & =\frac{m_1}{N}\cdot \frac{m_0}{N}\cdot \frac{N}{n_1{n}_0}\\ & =\frac{m_1{m}_0}{N{n}_1{n}_0}\end{array}$$ $◼$