大標本における母平均・母平均の差の信頼区間

中心極限定理より、標本平均の漸近分布は、 \begin{align} \bar{X}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(\mu_X,\frac{\sigma_X^2}{n}\right)\\ \bar{Y}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(\mu_Y,\frac{\sigma_Y^2}{m}\right) \end{align} 各群の標本不偏分散がそれぞれの母分散の一致推定量とみなすことができるとき、標本平均の漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left(\bar{X}\right)=\frac{s_X^2}{n} \quad \hat{V} \left(\bar{Y}\right)=\frac{s_Y^2}{m} \end{align} 標本平均の漸近的な標準誤差は、 \begin{gather} {\hat{\sigma}}_X=\frac{s_X}{\sqrt n} \quad {\hat{\sigma}}_Y=\frac{s_Y}{\sqrt m} \end{gather} したがって、各群の母平均の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 上下信頼限界は、 \begin{gather} \mu_{XL}=\bar{X}-{\hat{\sigma}}_X \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \mu_{XU}=\bar{X}+{\hat{\sigma}}_X \cdot Z_{0.5\alpha}\\ \mu_{YL}=\bar{Y}-{\hat{\sigma}}_Y \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \mu_{YU}=\bar{Y}+{\hat{\sigma}}_Y \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather}

標本平均の差の漸近分布は、 \begin{gather} \hat{\delta} \sim \mathrm{N} \left(\mu_X-\mu_Y,\frac{\sigma_X^2}{n}+\frac{\sigma_Y^2}{m}\right) \end{gather} 標本平均の差の分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left(\hat{\delta}\right)=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m} \end{align} 標本平均の漸近的な標準誤差 $\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\delta}\right)=\hat{\phi}$ は、 \begin{gather} \hat{\phi}=\sqrt{\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}} \end{gather} したがって、母平均の差の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 上下信頼限界は、 \begin{gather} \delta_L=\hat{\delta}-\hat{\phi} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \delta_U=\hat{\delta}+\hat{\phi} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} $\blacksquare$