標本平均の差の漸近分布

対応のない連続値データに関するコホート研究・介入研究について、
帰無仮説と対立仮説をそれぞれ $$\begin{array}{c}{H}_0:{\mu }_X={\mu }_Y{H}_1:{\mu }_X\ne {\mu }_Y\end{array}$$ とするとき、 標本平均の差の漸近分布は、
〔1〕対立仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:\overline{X}-\overline{Y}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}({\mu }_X-{\mu }_Y,\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 〔2〕帰無仮説 $$\begin{array}{r}{H}_0:\overline{X}-\overline{Y}\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}(0,\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m})\end{array}$$ 各群の標本不偏分散がそれぞれの母分散の一致推定量とみなすことができる、すなわち、 $$\begin{array}{c}{s}_X^2={\sigma }_X^2{s}_Y^2={\sigma }_Y^2\end{array}$$ とするとき、 両仮説における標本平均の差の漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_1^2={\hat{\sigma }}_0^2=\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}\end{array}$$