本稿では、希少疾患の仮定の下で、条件付き発症リスク比が条件付き曝露オッズ比によって近似できることを証明しています。このことは、マッチングを行わないコホート研究とケース・コントロール研究において成り立つ発症リスク比と曝露オッズ比の関係がペア・マッチングを行った場合でも成り立つことを示しています。
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【定理】条件付き曝露オッズ比による条件付き発症リスク比の近似
【定理】
条件付き曝露オッズ比による条件付き発症リスク比の近似
Conditonal Retrospective Odds Ratio Approximate the Conditonal Risk Ratio under Rare Event Assumption
共変量の値が $z$ のときの全体の発症確率を \begin{align} P \left(D\middle| z\right)=\delta_z \end{align} すると、 条件付き発症リスク比は、 \begin{align} \mathrm{{RR}_z}&=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{12} \left(1-\delta_z\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{21} \left(1-\delta_z\right)} \end{align} で求められる。 さらに、希少疾患の仮定 \begin{gather} \delta_z\rightarrow0 \end{gather} の下で、 条件付き発症リスク比は、条件付き曝露オッズ比で近似できる、すなわち、 \begin{align} \lim_{\delta_z\rightarrow0}{\mathrm{{RR}_z}}&=\mathrm{{OR}_{C \cdot R e t r o}}=\mathrm{{OR}_{C \cdot P r o s p}} \end{align} が成り立つ。
証明
共変量の値が $z$ のときのリスク比は、定義式より、 \begin{align} \mathrm{{RR}_z}&=\frac{P \left(D\middle| E,z\right)}{P \left(D\middle|\bar{E},z\right)}\\ &=\frac{P \left(D\cap E\middle| z\right)}{P \left(E\middle| z\right)}\div\frac{P \left(D\cap\bar{E}\middle| z\right)}{P \left(\bar{E}\middle| z\right)}\\ &=\frac{P \left(D\cap E\middle| z\right) \cdot P \left(\bar{E}\middle| z\right)}{P \left(D\cap\bar{E}\middle| z\right) \cdot P \left(E\middle| z\right)}\\ &=\frac{P \left(E\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(\bar{E}\middle|\bar{D},z\right) \cdot P \left(\bar{D}\middle| z\right)\right]}{P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(E\middle|\bar{D},z\right) \cdot P \left(\bar{D}\middle| z\right)\right]}\\ &=\frac{P \left(E\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(\bar{E}\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}\right]}{P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot \left[P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(E\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}\right]}\\ &=\frac{P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(\bar{E}\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}}{P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(E\middle| D,z\right) \cdot P \left(D\middle| z\right)+P \left(\bar{E}\middle| D,z\right) \cdot P \left(E\middle|\bar{D},z\right) \left\{1-P \left(D\middle| z\right)\right\}} \end{align} 共変量の値が $z$ のときの全体の発症確率を $P \left(D\middle| z\right)=\delta_z$ とおくと、 \begin{align} \mathrm{{RR}_z}&=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{DE} \cdot \phi_{\bar{D}\bar{E}} \left(1-\delta_z\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{\bar{D}E} \cdot \phi_{D\bar{E}} \left(1-\delta_z\right)}\\ &=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{12} \left(1-\delta_z\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot \delta_z+\phi_{21} \left(1-\delta_z\right)} \end{align}
希少疾患 $\delta_z\rightarrow0$ の仮定のもとで、 \begin{align} \lim_{\delta_z\rightarrow0}{\mathrm{{RR}_z}}&=\frac{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot 0+\phi_{12} \left(1-0\right)}{\phi_{DE} \cdot \phi_{D\bar{E}} \cdot 0+\phi_{21} \left(1-0\right)}\\ &=\frac{\phi_{12}}{\phi_{21}}\\ &=\mathrm{{OR}_{CRetro}}\ \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.237-238
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