マンテル・ヘンツェル推定量-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

マンテル・ヘンツェル推定量

公開日： 2022/10/16

本稿では、コホート研究やケース・コントロール研究のデータを層別し、全層に共通した曝露効果の指標を求める際のマンテル・ヘンツェル推定量の公式を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。

目次[非表示]

1.【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク差）
2.【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク比）
3.【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生率差）
4.【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生率比）
5.【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（曝露オッズ比）
6.参考文献
7.関連記事

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク差）

【公式】
マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク差）
Mantel-Haenszel Estimator for Common Risk Difference

マッチングなし・層化ありのコホート研究において、全層に共通した発生リスク差のマンテル・ヘンツェル推定量は、 $\begin{matrix} {\hat{RD}}_{MH} = \frac{\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} n_{0 k} - b_{k} n_{1 k}}{N_{k}}}{\sum_{k = 1}^{K} \frac{n_{0 k} n_{1 k}}{N_{k}}} \end{matrix}$ 推定量の分散は、 $\begin{matrix} V ({\hat{RD}}_{MH}) = \frac{\sum_{k = 1}^{K} [{(\frac{n_{0 k} n_{1 k}}{N_{k}})}^{2} {\frac{a_{k} c_{k}}{n_{1 k}^{2} (n_{1 k} - 1)} + \frac{b_{k} d_{k}}{n_{0 k}^{2} (n_{0 k} - 1)}}]}{{(\sum_{k = 1}^{K} \frac{n_{0 k} n_{1 k}}{N_{k}})}^{2}} \end{matrix}$ で与えられる。

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク比）

【公式】
マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク比）
Mantel-Haenszel Estimator for Common Risk Ratio

マッチングなし・層化ありのコホート研究において、全層に共通した発生リスク比のマンテル・ヘンツェル推定量は、 $\begin{matrix} {\hat{RR}}_{MH} = \frac{\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} n_{0 k}}{N_{k}}}{\sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} n_{1 k}}{N_{k}}} \end{matrix}$ 推定量の対数の分散は、 $\begin{matrix} V (\log {\hat{RR}}_{MH}) = \frac{\sum_{k = 1}^{K} (\frac{n_{0 k} n_{1 k} m_{1 k}}{N_{k}^{2}} - \frac{a_{k} b_{k}}{N_{k}})}{(\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} n_{0 k}}{N_{k}}) (\sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} n_{1 k}}{N_{k}})} \end{matrix}$ で与えられる。

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生率差）

【公式】
マンテル・ヘンツェル推定量（発生率差）
Mantel-Haenszel Estimator for Common Incidence Rate Difference

平均発生率を指標とするマッチングなし・層化ありのコホート研究において、全層に共通した発生率差のマンテル・ヘンツェル推定量は、 $\begin{matrix} {\hat{IRD}}_{MH} = \frac{\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} T_{0 k} - b_{k} T_{1 k}}{T_{k}}}{\sum_{k = 1}^{K} \frac{T_{0 k} T_{1 k}}{T_{k}}} \end{matrix}$ 推定量の分散は、 $\begin{matrix} V ({\hat{IRD}}_{MH}) = \frac{\sum_{k = 1}^{K} [{(\frac{T_{0 k} T_{1 k}}{T_{k}})}^{2} (\frac{a_{k}}{T_{1 k}^{2}} + \frac{b_{k}}{T_{0 k}^{2}})]}{{(\sum_{k = 1}^{K} \frac{T_{0 k} T_{1 k}}{T_{k}})}^{2}} \end{matrix}$ で与えられる。

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生率比）

【公式】
マンテル・ヘンツェル推定量（発生率比）
Mantel-Haenszel Estimator for Common Incidence Rate Ratio

平均発生率を指標とするマッチングなし・層化ありのコホート研究において、全層に共通した発生率比のマンテル・ヘンツェル推定量は、 $\begin{matrix} {\hat{IRR}}_{MH} = \frac{\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} T_{0 k}}{T_{k}}}{\sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} T_{1 k}}{T_{k}}} \end{matrix}$ 推定量の対数の分散は、 $\begin{matrix} V (\log {\hat{IRR}}_{MH}) = \frac{\sum_{k = 1}^{K} (\frac{m_{1 k} T_{0 k} T_{1 k}}{T_{k}^{2}})}{(\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} T_{0 k}}{T_{k}}) (\sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} T_{1 k}}{T_{k}})} \end{matrix}$ で与えられる。

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（曝露オッズ比）

【公式】
マンテル・ヘンツェル推定量（曝露オッズ比）
Mantel-Haenszel Estimator for Common Odds Ratio

マッチングなし・層化ありのケース・コントロール研究において、全層に共通した曝露オッズ比のマンテル・ヘンツェル推定量は、 $\begin{matrix} {\hat{OR}}_{MH} = \frac{\sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} d_{k}}{N_{k}}}{\sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} c_{k}}{N_{k}}} \end{matrix}$ 推定量の対数の分散は、 $\begin{matrix} V (\log {\hat{OR}}_{MH}) = \frac{S_{3}}{2 S_{1}^{2}} + \frac{S_{5}}{2 S_{1} S_{2}} + \frac{S_{4}}{2 S_{2}^{2}} \end{matrix}$ で与えられる。ただし、 $\begin{matrix} S_{1} = \sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} d_{k}}{N_{k}} S_{2} = \sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} c_{k}}{N_{k}} \\ S_{3} = \sum_{k = 1}^{K} \frac{a_{k} d_{k} (a_{k} + d_{k})}{N_{k}^{2}} S_{4} = \sum_{k = 1}^{K} \frac{b_{k} c_{k} (b_{k} + c_{k})}{N_{k}^{2}} \\ S_{5} = \sum_{k = 1}^{K} \frac{(a_{k} + d_{k}) b_{k} c_{k} + (b_{k} + c_{k}) a_{k} d_{k}}{N_{k}^{2}} \end{matrix}$

参考文献

ケネス・ロスマン著, 矢野栄二, 橋本英樹, 大脇和浩監訳. ロスマンの疫学：科学的思考への誘い第2版. 篠原出版新社, 2013, p.248-262, p.268-269
丹後俊郎, 松井茂之編集. 医学統計学ハンドブック新版. 朝倉書店, 2018, p.514-517
丹後俊郎, 小西貞則編集. 医学統計学の事典新装版. 朝倉書店, 2018, p.99-100
ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.135-139
Mantel, N. & Haenszel, W.. Statistical Aspects of the Analysis of Data From Retrospective Studies of Disease. Journal of the National Cancer Institute. 1959, 22(4), p.719-748, doi: 10.1093/jnci/22.4.719
Mantel, N.. Chi-square tests with one degree of freedom: Extensions of the Mantel-Haenszel procedure. Journal of the American Statistical Association. 1963, 58, p.690-700, doi: 10.2307/2282717
Robins, J., Breslow, N. & Greenland, S.. Estimators of the Mantel-Haenszel variance consistent in both sparse data and large-strata limiting models. Biometrics. 1986, 42(2), p.311-323, doi: 10.2307/2531052
Robins, J., Greenland, S. & Breslow, N.. A general estimator for the variance of the Mantel-Haenszel odds ratio. Am J Epidemiol. 1986, 124(5), p.719-723, doi: 10.1093/oxfordjournals.aje.a114447

マンテル・ヘンツェル推定量

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク差）

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生リスク比）

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生率差）

【公式】マンテル・ヘンツェル推定量（発生率比）

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