ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』問題2.6 解答例-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.6」の自作解答例です。コクラン検定・フィッシャーの正確確率検定に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。

1.問題2.6.1：積二項尤度（帰無仮説）
2.問題2.6.2：曝露群の発症人数の期待値と分散一致推定量
3.問題2.6.3：実測値と期待値の差の分散の一致推定量
4.問題2.6.4：超幾何尤度の導出（対立仮説）
5.問題2.6.5：超幾何尤度の導出（帰無仮説）
6.問題2.6.6：超幾何分布の確率関数
7.問題2.6.7：ヴァンデルモンドの恒等式
8.問題2.6.8：条件付きの超幾何尤度の公式
9.問題2.6.9：超幾何分布の期待値
10.問題2.6.10：超幾何分布の2次階乗モーメントと分散
11.参考文献
12.関連記事

問題2.6.1：積二項尤度（帰無仮説）

本問の条件下で、観測値が得られる積二項尤度は、 $\begin{aligned} L_{1} (π_{1}, π_{2}) & = P (a, b | n_{1}, n_{2}, π) \\ = P (a | n_{1}, π_{1}) \cdot P (b | n_{2}, π_{2}) \\ =_{n_{1}} C_{a} π_{1}^{a} {(1 - π_{1})}^{n_{1} - a} \cdot_{n_{2}} C_{b} π_{2}^{b} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - b} \end{aligned}$ 帰無仮説 $H_{0} : π_{1} = π_{2} = π$ のもとでは、 $\begin{aligned} L_{0} (π_{1}, π_{2}) & =_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{b} \cdot π^{a + b} {(1 - π)}^{n_{1} + n_{2} - a - b} \\ =_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{b} \cdot π^{m_{1}} {(1 - π)}^{m_{2}} \end{aligned}$ $◼$

問題2.6.2：曝露群の発症人数の期待値と分散一致推定量

二項分布の期待値と分散の公式より、曝露群について、 $\begin{array}{r} E (a) = n_{1} π V (a) = n_{1} π (1 - π) \end{array}$ 共通の母比率 $π$ の一致推定量は、 $\begin{array}{r} \hat{π} = \frac{a + b}{n_{1} + n_{2}} = \frac{m_{1}}{N} \end{array}$ したがって、曝露群の発症人数の期待値と分散の一致推定量は、 $\begin{array}{r} \hat{E} (a) = \frac{m_{1} n_{1}}{N} \hat{V} (a) = \frac{m_{1} m_{2} n_{1}}{N^{2}} \end{array}$ $◼$

問題2.6.3：実測値と期待値の差の分散の一致推定量

同様に、非曝露群については、 $\begin{matrix} E (b) = n_{2} π V (b) = n_{2} π (1 - π) \\ \hat{E} (b) = \frac{m_{1} n_{2}}{N} \hat{V} (b) = \frac{m_{1} m_{2} n_{2}}{N^{2}} \end{matrix}$ 実測値と期待値の一致推定量の差は、 $\begin{aligned} a - \hat{E} (a) & = a - \frac{m_{1} n_{1}}{N} \\ = \frac{a (n_{1} + n_{2}) - m_{1} n_{1}}{N} \\ = \frac{n_{2} a + n_{1} (a - m_{1})}{N} \\ = \frac{n_{2} a - n_{1} b}{N} \end{aligned}$ 両辺の分散を取ると、分散の性質より、 $\begin{aligned} V [a - \hat{E} (a)] & = V [\frac{n_{2} a - n_{1} b}{N}] \\ = \frac{n_{2}^{2} V (a) + n_{1}^{2} V (b)}{N^{2}} \\ = \frac{n_{2}^{2} n_{1} π (1 - π) + n_{1}^{2} n_{2} π (1 - π)}{N^{2}} \\ = \frac{n_{1} n_{2} (n_{1} + n_{2}) π (1 - π)}{N^{2}} \\ = \frac{n_{1} n_{2} π (1 - π)}{N} \end{aligned}$ 共通の母比率 $π$ を標本共通比率で置き換えると、差の分散の一致推定量は、 $\begin{aligned} \hat{V} [a - \hat{E} (a)] & = \frac{n_{1} n_{2}}{N} \cdot \frac{m_{1}}{N} \cdot \frac{m_{2}}{N} \\ = \frac{n_{1} n_{2} m_{1} m_{2}}{N^{3}} \end{aligned}$ したがって、独立性の検定の考え方から、検定統計量は、 $\begin{array}{r} χ_{C}^{2} = \frac{{[a - \hat{E} (a)]}^{2}}{\hat{V} [a - \hat{E} (a)]} \end{array}$ $◼$

問題2.6.4：超幾何尤度の導出（対立仮説）

発症群での曝露の有無について、 $m_{1} = a + b$ が固定されているとき、 $\begin{array}{r} b = m_{1} - a \end{array}$ これを積二項尤度の式に代入すると、 $\begin{aligned} P (a, m_{1} | n_{1}, π_{1}, n_{2}, π_{2}) & =_{n_{1}} C_{a} π_{1}^{a} {(1 - π_{1})}^{n_{1} - a} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a} π_{2}^{m_{1} - a} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1} + a} \\ =_{n_{1}} C_{a} {(\frac{π_{1}}{1 - π_{1}})}^{a} {(1 - π_{1})}^{n_{1}} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a} {(\frac{1 - π_{2}}{π_{2}})}^{a} π_{2}^{m_{1}} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1}} \\ =_{n_{1}} C_{a} {(\frac{π_{1}}{1 - π_{1}} \cdot \frac{1 - π_{2}}{π_{2}})}^{a} {(1 - π_{1})}^{n_{1}} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a} π_{2}^{m_{1}} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1}} \end{aligned}$ ここで、オッズ比を $φ = \frac{π_{1}}{1 - π_{1}} \cdot \frac{1 - π_{2}}{π_{2}}$ とおくと、 $\begin{array}{r} P (a, m_{1} | n_{1}, π_{1}, n_{2}, π_{2}) =_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a} \cdot φ^{a} \cdot {(1 - π_{1})}^{n_{1}} π_{2}^{m_{1}} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1}} \end{array}$ 条件付き確率の定義式より、 $m_{1}$ を固定するという条件のもとでの条件付き尤度は、 $\begin{array}{r} L (φ) = \frac{P (a, m_{1} | n_{1}, π_{1}, n_{2}, π_{2})}{P (m_{1} | n_{1}, π_{1}, n_{2}, π_{2})} \end{array}$ ここで、 $m_{1}$ が得られる確率は、行と列の周辺度数 $(n_{1}, n_{2}, m_{1}, m_{2})$ が与えられたという条件のもとで、 $a$ が得られる確率の総和として求めることができる。すなわち、 $\begin{array}{r} P (m_{1} | n_{1}, π_{1}, n_{2}, π_{2}) = \sum_{a = a_{l}}^{a_{u}} P (a, m_{1} | n_{1}, π_{1}, n_{2}, π_{2}) \end{array}$ $a$ の取り得る値の上限（最大値）は、 $n_{1}, m_{1}$ のうち小さい方 $a_{u} = \min {n_{1}, m_{1}}$ である。
同様に、 $b$ の取り得る値の上限（最大値）は、 $n_{2}, m_{1}$ のうち小さい方 $b_{u} = \min {n_{2}, m_{1}}$ であり、 $a = m_{1} - b$ の関係があるので、 $a$ の取り得る値の下限（最小値）は、 $a_{l} = m_{1} - \max {n_{2}, m_{1}}$ となる。したがって、 $a$ の取り得る値の範囲は、 $\begin{array}{r} a = {\max (0, n_{2} - m_{1}), \dots, \min (n_{1}, m_{1})} \end{array}$ これらを条件付き尤度の式に代入すると、 ${(1 - π_{1})}^{n_{1}} π_{2}^{m_{1}} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1}}$ は定数なので、 $\begin{aligned} L_{1} (φ) & = \frac{{(1 - π_{1})}^{n_{1}} π_{2}^{m_{1}} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1}} \cdot_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a} \cdot φ^{a}}{{(1 - π_{1})}^{n_{1}} π_{2}^{m_{1}} {(1 - π_{2})}^{n_{2} - m_{1}} \cdot \sum_{i = a_{l}}^{a_{u}}_{n_{1}} C_{i} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - i} \cdot φ^{i}} \\ = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a} \cdot φ^{a}}{\sum_{i = a_{l}}^{a_{u}}_{n_{1}} C_{i} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - i} \cdot φ^{i}} \end{aligned}$ $◼$

問題2.6.5：超幾何尤度の導出（帰無仮説）

特に、帰無仮説 $H_{0} : φ = 1$ のもとでは、 $\begin{array}{r} L_{0} (φ) = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - a}}{\sum_{i = a_{l}}^{a_{u}}_{n_{1}} C_{i} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - i}} \end{array}$ $◼$

問題2.6.6：超幾何分布の確率関数

$N$ 個の中から、 $m_{1}$ 個を抽出する選び方は、 $\begin{array}{r} _{N} C_{m_{1}} \end{array}$ 通りある。性質 $A$ を持つ個体が $a$ 個となる選び方は、まず、性質 $A$ を持つ $n_{1}$ 個の中から、 $a$ 個を抽出し、
性質 $A$ を持たない $N - n_{1}$ 個の中から、残りの $m_{1} - a$ 個を抽出すればよいので、そのような選び方は、 $\begin{array}{r} _{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a} \end{array}$ 通りある。したがって、このような事象が起こる確率は（数学的確率によって）、 $\begin{array}{r} P (a | n_{1}, m_{1}, N) = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a}}{_{N} C_{m_{1}}} \end{array}$ これは、超幾何分布の確率関数である。 $◼$

問題2.6.7：ヴァンデルモンドの恒等式

確率の公理 $\sum_{- \infty}^{\infty} f (x) = 1$ より、 $\begin{array}{r} \sum_{i = a_{l}}^{a_{u}} P (i | n_{1}, m_{1}, N) = \sum_{i = a_{l}}^{a_{u}} \frac{_{n_{1}} C_{i} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - i}}{_{N} C_{m_{1}}} = 1 \end{array}$ 変数は $a$ で $_{N} C_{m_{1}}$ は定数なので、両辺に $_{N} C_{m_{1}}$ をかけると、 $\begin{array}{r} \sum_{i = a_{l}}^{a_{u}}_{n_{1}} C_{i} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - i} =_{N} C_{m_{1}} \end{array}$ $◼$

問題2.6.8：条件付きの超幾何尤度の公式

帰無仮説 $H_{0} : φ = 1$ のもとでの条件付きの超幾何尤度の公式より、 $\begin{array}{r} L_{0} (φ) = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a}}{\sum_{i = a_{l}}^{a_{u}}_{n_{1}} C_{i} \cdot_{n_{2}} C_{m_{1} - i}} \end{array}$ 〔2〕の結果を代入すると、 $\begin{aligned} L_{0} (φ) & = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a}}{_{N} C_{m_{1}}} \\ = \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{n_{2}} C_{b}}{_{N} C_{m_{1}}} \\ = \frac{n_{1}!}{a! (n_{1} - a)!} \cdot \frac{n_{2}!}{b! (n_{2} - b)!} \cdot \frac{m_{1}! (N - m_{1})!}{N!} \\ = \frac{n_{1}!}{a! c!} \cdot \frac{n_{2}!}{b! d!} \cdot \frac{m_{1}! m_{2}!}{N!} \\ = \frac{n_{1}! n_{2}! m_{1}! m_{2}!}{N! a! b! c! d!} \end{aligned}$ $◼$

問題2.6.9：超幾何分布の期待値

期待値の定義式 $E (X) = \sum_{x = - \infty}^{\infty} x \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} E (a) & = \sum a \cdot \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a}}{_{N} C_{m_{1}}} \\ = \frac{m_{1} n_{1}}{N} \sum \frac{_{n_{1} - 1} C_{a - 1} \cdot_{(N - 1) - (n_{1} - 1)} C_{(m_{1} - 1) - (a - 1)}}{_{N - 1} C_{m_{1} - 1}} \end{aligned}$ ヒントにあるように、 $\begin{array}{r} \sum \frac{_{n_{1} - 1} C_{a - 1} \cdot_{(N - 1) - (n_{1} - 1)} C_{(m_{1} - 1) - (a - 1)}}{_{N - 1} C_{m_{1} - 1}} = 1 \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} E (a) = \frac{m_{1} n_{1}}{N} \end{array}$ $◼$

問題2.6.10：超幾何分布の2次階乗モーメントと分散

2次階乗モーメントの定義式 $E {X (X - 1)} = \sum_{x = 0}^{\infty} x (x - 1) \cdot f (x)$ より、 $\begin{aligned} E {a (a - 1)} & = \sum a (a - 1) \cdot \frac{_{n_{1}} C_{a} \cdot_{N - n_{1}} C_{m_{1} - a}}{_{N} C_{m_{1}}} \\ = \frac{m_{1} (m_{1} - 1) n_{1} (n_{1} - 1)}{N (N - 1)} \sum \frac{_{n_{1} - 2} C_{a - 2} \cdot_{(N - 2) - (n_{1} - 2)} C_{(m_{1} - 2) - (a - 2)}}{_{N - 2} C_{m_{1} - 2}} \end{aligned}$ これまでと同様に、 $\begin{array}{r} \sum \frac{_{n_{1} - 2} C_{a - 2} \cdot_{(N - 2) - (n_{1} - 2)} C_{(m_{1} - 2) - (a - 2)}}{_{N - 2} C_{m_{1} - 2}} = 1 \end{array}$ したがって、 $\begin{array}{r} E {a (a - 1)} = \frac{m_{1} (m_{1} - 1) n_{1} (n_{1} - 1)}{N (N - 1)} \end{array}$ 分散の公式 $V (X) = E {X (X - 1)} + E (X) - {E (X)}^{2}$ より、 $\begin{aligned} V (a) & = \frac{m_{1} (m_{1} - 1) n_{1} (n_{1} - 1)}{N (N - 1)} + \frac{m_{1} n_{1}}{N} - \frac{m_{1}^{2} n_{1}^{2}}{N^{2}} \\ = \frac{m_{1} n_{1}}{N} {\frac{(m_{1} - 1) (n_{1} - 1)}{N - 1} + 1 - \frac{m_{1} n_{1}}{N}} \\ = \frac{m_{1} n_{1}}{N} {\frac{N (m_{1} - 1) (n_{1} - 1) + N (N - 1) - m_{1} n_{1} (N - 1)}{N (N - 1)}} \\ = \frac{m_{1} n_{1}}{N^{2} (N - 1)} (m_{1} n_{1} N - m_{1} N - n_{1} N + N + N^{2} - N - m_{1} n_{1} N + m_{1} n_{1}) \\ = \frac{m_{1} n_{1}}{N^{2} (N - 1)} {N^{2} - (n_{1} + m_{1}) N + m_{1} n_{1}} \\ = \frac{m_{1} n_{1}}{N^{2} (N - 1)} {(N - m_{1}) (N - n_{1})} \\ = \frac{m_{1} m_{2} n_{1} n_{2}}{N^{2} (N - 1)} \end{aligned}$ $◼$

参考文献

ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.82-83
ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.28-30
ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.34-36
ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.42-43
Fisher, R. A.. On the interpretation of $χ^{2}$ from contingency tables, and the calculation of P. Journal of the Royal Statistical Society, 1922;85 (1): 87-94. doi: https://doi.org/10.2307/2340521
Cochran, W.G.. Some Methods for Strengthening the Common $χ^{2}$ Tests. Biometrics. 1954;10(4):417-451, doi: https://doi.org/10.2307/3001616

統計的仮説検定

ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』問題2.6 解答例

問題2.6.1：積二項尤度（帰無仮説）

問題2.6.2：曝露群の発症人数の期待値と分散一致推定量

問題2.6.3：実測値と期待値の差の分散の一致推定量

問題2.6.4：超幾何尤度の導出（対立仮説）

問題2.6.5：超幾何尤度の導出（帰無仮説）

問題2.6.6：超幾何分布の確率関数

問題2.6.7：ヴァンデルモンドの恒等式

問題2.6.8：条件付きの超幾何尤度の公式

問題2.6.9：超幾何分布の期待値

問題2.6.10：超幾何分布の2次階乗モーメントと分散

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