ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.9 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.9」の自作解答例です。母比率の滑らかな関数にもとづく検定に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.9：標本比率の滑らかな関数の漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{p}_1\sim \mathrm{N}[{\pi }_1,\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}]\\ p_2\sim \mathrm{N}[{\pi }_2,\frac{{\pi }_2(1-{\pi }_2)}{n_2}]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}{\pi }_i\to g\left({\pi }_i\right)p_i\to g\left(p_i\right)\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left\{g\left(p_i\right)\right\}\cong E\left[g\left({\pi }_i\right)\right]\end{array}$$ $$\begin{array}{r}V\left[g\left(p_i\right)\right]\cong {\left\{g^{\prime }\left({\pi }_i\right)\right\}}^{2}V\left(p_i\right)\end{array}$$ スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}g\left(p_i\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[g\left({\pi }_i\right),{\left\{g^{\prime }\left({\pi }_i\right)\right\}}^{2}V\left(p_i\right)]\end{array}$$ したがって、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}g\left(p_1\right)-g\left(p_2\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[g\left({\pi }_1\right)-g\left({\pi }_2\right),{\left\{g^{\prime }\left({\pi }_1\right)\right\}}^{2}V\left(p_1\right)+{\left\{g^{\prime }\left({\pi }_2\right)\right\}}^{2}V\left(p_2\right)]\end{array}$$ 帰無仮説 $H_0:{\pi }_1={\pi }_2(=\pi )$ のもとでは、 $$\begin{array}{r}g\left(p_1\right)-g\left(p_2\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[0,{\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^2\{V\left(p_1\right)+V\left(p_2\right)\}]\end{array}$$ ここで、帰無仮説のもとでの漸近分散を以下のようにおくと、 $$\begin{array}{rl}{\sigma }_0^2& ={\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^2\{V\left(p_1\right)+V\left(p_2\right)\}\\ & ={\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^2\pi (1-\pi )(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{a+b}{n_1+n_2}=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ 共通の母比率 $\pi$ を標本共通比率で置き換えると、差の分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\sigma }}_0^2& ={\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^2\hat{\pi }(1-\hat{\pi })(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})\end{array}$$ よって、これを用いて標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{g\left(p_1\right)-g\left(p_2\right)}{{\hat{\sigma }}_0}=Z_g\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ したがって、母比率の滑らかな関数にもとづく検定統計量は、漸近的に通常の $\mathrm{Z}$検定を行うための検定統計量として用いることができる。 $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.84
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.38-40

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