ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題4.1 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題4.1」の自作解答例です。コクラン検定統計量の重み付き平均としての表現に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題4.1：コクラン検定統計量の別表現

非曝露群の発症人数 $b_k$ について、 $$\begin{array}{c}E\left(b\right)=n_{2k}{\pi }_k\hat{E}\left(b\right)=\frac{m_{1k}{n}_{2k}}{N}\\ V\left(b_k\right)=n_{2k}{\pi }_k(1-{\pi }_k)\hat{V}\left(b_k\right)=\frac{m_{1k}{m}_{2k}{n}_{2k}}{N_k^2}\end{array}$$ $m_{1k}=a_k+b_k$ の関係があるので、実測値と期待値の一致推定量の差は、 $$\begin{array}{rl}{a}_k-\hat{E}\left(a_k\right)& =a_k-\frac{m_{1k}{n}_{1k}}{N_k}\\ & =\frac{a_k(n_{1k}+n_{2k})-(a_k+b_k)n_{1k}}{N_k}\\ \text{(1)}& & =\frac{n_{2k}{a}_k-n_{1k}{b}_k}{N_k}\end{array}$$ ここで、$a_k=n_{1k}{p}_{1k},b_k=n_{2k}{p}_{2k}$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}{a}_k-\hat{E}\left(a_k\right)& =\frac{n_{2k}{n}_{1k}{p}_{1k}-n_{1k}{n}_{2k}{p}_{2k}}{N_k}\\ & =\frac{n_{1k}{n}_{2k}}{N_k}(p_{1k}-p_{2k})\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}{\hat{w}}_k=\frac{n_{1k}{n}_{2k}}{N_k}=\frac{1}{\frac{1}{n_{1k}}+\frac{1}{n_{2k}}}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& a_k-\hat{E}\left(a_k\right)={\hat{w}}_k(p_{1k}-p_{2k})\end{array}$$ また、式 $(1)$ の分散を取ると、 $$\begin{array}{rl}V[a_k-\hat{E}\left(a_k\right)]& =V\left[\frac{n_{2k}{a}_k-n_{1k}{b}_k}{N_k}\right]\\ & =\frac{n_{2k}^{2}V\left(a_k\right)+n_{1k}^{2}V\left(b_k\right)}{N_k^2}\end{array}$$ 一致推定量は、${\pi }_k=p_k$ を代入して、 $$\begin{array}{rl}\hat{V}[a_k-\hat{E}\left(a_k\right)]& =\frac{n_{2k}^2}{N_k^2}\cdot \frac{m_{1k}{m}_{2k}{n}_{1k}}{N_k^2}+\frac{n_{1k}^2}{N_k^2}\cdot \frac{m_{1k}{m}_{2k}{n}_{2k}}{N_k^2}\\ & =\frac{m_{1k}{m}_{2k}{n}_{1k}{n}_{2k}}{N_k^4}(n_{1k}+n_{2k})\\ & =\frac{m_{1k}{m}_{2k}{n}_{1k}{n}_{2k}}{N_k^3}\end{array}$$ ここで、$p_k=\frac{m_{1k}}{N_k},1-p_k=\frac{m_{2k}}{N_k}$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}\hat{V}[a_k-\hat{E}\left(a_k\right)]=\frac{n_{1k}{n}_{2k}}{N_k}{p}_k(1-p_k)\end{array}$$ よって、${\hat{V}}_{0k}=p_k(1-p_k)\left(\frac{N_k}{n_{1k}{n}_{2k}}\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}\hat{V}[a_k-\hat{E}\left(a_k\right)]={\hat{w}}_k^2{\hat{V}}_{0k}\end{array}$$ 二項分布の正規近似より、 $$\begin{array}{r}{a}_k-\hat{E}\left(a_k\right)\sim \mathrm{N}[0,{\hat{w}}_k^2{\hat{V}}_{0k}]\end{array}$$ 各層は互いに独立なので、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}\sum _{k=1}^K\{a_k-\hat{E}\left(a_k\right)\}\sim \mathrm{N}[0,\sum _{k=1}^K{\hat{w}}_k^2{\hat{V}}_{0k}]\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{\sum _{k=1}^K\left\{{\hat{w}}_k(p_{1k}-p_{2k})\right\}}{\sqrt{\sum _{k=1}^K{\hat{w}}_k^2{\hat{V}}_{0k}}}=Z_{\mathrm{C}}\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ したがって、${\chi }^2$分布の定義より、 $$\begin{array}{r}{\chi }_{\mathrm{C}}^2=\frac{{\left[\sum _{k=1}^K{\hat{w}}_k(p_{1k}-p_{2k})\right]}^2}{\sum _{k=1}^K{\hat{w}}_k^2{\hat{V}}_{0k}}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.204-205
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.132-135

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