本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.4」の自作解答例です。相対リスクとオッズ比の関係に関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題2.4.1：オッズ比と各群の発症割合の関係
\begin{align} \mathrm{OR}=\frac{\pi_1}{1-\pi_1} \cdot \frac{1-\pi_2}{\pi_2} \end{align} これを $\pi_1$ について解くと、 \begin{gather} \mathrm{OR}\frac{\pi_2}{1-\pi_2}=\frac{\pi_1}{1-\pi_1}\\ \frac{\mathrm{OR}\pi_2}{1-\pi_2}=\pi_1+\frac{\mathrm{OR}\pi_2}{1-\pi_2}\pi_1\\ \frac{\mathrm{OR}\pi_2}{1-\pi_2}= \left(1+\frac{\mathrm{OR}\pi_2}{1-\pi_2}\right)\pi_1\\ \end{gather} \begin{align} \pi_1&=\frac{1-\pi_2}{ \left(1-\pi_2\right)+\mathrm{OR}\pi_2} \cdot \frac{\mathrm{OR}\pi_2}{1-\pi_2}\\ &=\frac{\mathrm{OR}\pi_2}{ \left(1-\pi_2\right)+\mathrm{OR}\pi_2} \end{align} $\blacksquare$
問題2.4.2：リスク比とオッズ比の関係
リスク比の定義 $\mathrm{\widehat{RR}}=\frac{an_2}{bn_1}$ とオッズ比の定義 $\mathrm{\widehat{OR}}=\frac{ad}{bc}$ より、 \begin{align} \mathrm{\widehat{OR}} \left(\frac{1+\frac{b}{d}}{1+\frac{a}{c}}\right)&=\frac{ad}{bc} \left(\frac{\frac{b+d}{d}}{\frac{a+c}{c}}\right)\\ &=\frac{ad}{bc} \cdot \frac{n_2}{d} \cdot \frac{c}{n_1}\\ &=\frac{an_2}{bn_1}\\ &=\mathrm{\widehat{RR}} \end{align} $\blacksquare$
問題2.4.3：希少疾患の仮定の下でのオッズ比によるリスク比の近似
発症が稀なアウトカムの場合 $\frac{m_1}{N}\rightarrow0$、発症者数は、発症していない人の数よりも圧倒的に小さいと考えられる $\frac{m_1}{m_2}\rightarrow0$ ので、 \begin{gather} \frac{b}{d}=\frac{m_1\pi_2}{m_2 \left(1-\pi_2\right)}=\frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{\pi_2}{1-\pi_2}\rightarrow0\\ \frac{a}{c}=\frac{m_1\pi_1}{m_2 \left(1-\pi_1\right)}=\frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{\pi_1}{1-\pi_1}\rightarrow0 \end{gather} よって、 \begin{gather} 1+\frac{b}{d}\rightarrow1\\ 1+\frac{a}{c}\rightarrow1 \end{gather} （2）の結果より、 \begin{align} \mathrm{\widehat{OR}}\cong\mathrm{\widehat{RR}} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.80-81
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