ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.4 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.4」の自作解答例です。相対リスクとオッズ比の関係に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.4.1：オッズ比と各群の発症割合の関係

$$\begin{array}{r}\mathrm{OR}=\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{1-{\pi }_2}{{\pi }_2}\end{array}$$ これを ${\pi }_1$ について解くと、 $$\begin{array}{c}\mathrm{OR}\frac{{\pi }_2}{1-{\pi }_2}=\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\\ \frac{\mathrm{OR}{\pi }_2}{1-{\pi }_2}={\pi }_1+\frac{\mathrm{OR}{\pi }_2}{1-{\pi }_2}{\pi }_1\\ \frac{\mathrm{OR}{\pi }_2}{1-{\pi }_2}=(1+\frac{\mathrm{OR}{\pi }_2}{1-{\pi }_2}){\pi }_1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\pi }_1& =\frac{1-{\pi }_2}{(1-{\pi }_2)+\mathrm{OR}{\pi }_2}\cdot \frac{\mathrm{OR}{\pi }_2}{1-{\pi }_2}\\ & =\frac{\mathrm{OR}{\pi }_2}{(1-{\pi }_2)+\mathrm{OR}{\pi }_2}\end{array}$$ $◼$

問題2.4.2：リスク比とオッズ比の関係

リスク比の定義 $\widehat{\mathrm{RR}}=\frac{a{n}_2}{b{n}_1}$ とオッズ比の定義 $\widehat{\mathrm{OR}}=\frac{ad}{bc}$ より、 $$\begin{array}{rl}\widehat{\mathrm{OR}}\left(\frac{1+\frac{b}{d}}{1+\frac{a}{c}}\right)& =\frac{ad}{bc}\left(\frac{\frac{b+d}{d}}{\frac{a+c}{c}}\right)\\ & =\frac{ad}{bc}\cdot \frac{n_2}{d}\cdot \frac{c}{n_1}\\ & =\frac{a{n}_2}{b{n}_1}\\ & =\widehat{\mathrm{RR}}\end{array}$$ $◼$

問題2.4.3：希少疾患の仮定の下でのオッズ比によるリスク比の近似

発症が稀なアウトカムの場合 $\frac{m_1}{N}\to 0$、発症者数は、発症していない人の数よりも圧倒的に小さいと考えられる $\frac{m_1}{m_2}\to 0$ ので、 $$\begin{array}{c}\frac{b}{d}=\frac{m_1{\pi }_2}{m_2(1-{\pi }_2)}=\frac{m_1}{m_2}\cdot \frac{{\pi }_2}{1-{\pi }_2}\to 0\\ \frac{a}{c}=\frac{m_1{\pi }_1}{m_2(1-{\pi }_1)}=\frac{m_1}{m_2}\cdot \frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\to 0\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{c}1+\frac{b}{d}\to 1\\ 1+\frac{a}{c}\to 1\end{array}$$ （2）の結果より、 $$\begin{array}{r}\widehat{\mathrm{OR}}\cong \widehat{\mathrm{RR}}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.80-81

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