本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題3.6」の自作解答例です。相対リスクを用いた非劣性・同等性試験に対するサンプルサイズと検出力に関する問題です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 上述の参考書では、標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $Z_{1-\alpha}$ と表記していますが、本サイトでは、$Z_\alpha$ としています。そのため、参考書に載っている式の形式と異なる部分があります。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載しておりません。上述の参考書をお持ちの方は、お手元にご用意してご覧ください。
- この解答例は、筆者が自作したものであり、公式なものではありません。あくまでも参考としてご覧いただければ幸いです。
問題3.6.1：同等性マージン・有意水準・検出力の関係
与条件を整理すると、 \begin{gather} \theta=\log{\mathrm{RR}}=\log{\frac{\pi_1}{\pi_2}}\\ \hat{\theta}=\log{\mathrm{\widehat{RR}}}=\log{\frac{p_1}{p_2}} \end{gather} 同等性マージン $\theta_E$ を用いると、 \begin{gather} \hat{\theta}\pm Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0\in \left(-\theta_E,\theta_E\right) \end{gather} のときに同等性が示せる。 同等性試験のサンプルサイズを設計する際の検証したい仮説は、 \begin{gather} H_0:\theta=0\Leftrightarrow H_0:\pi_1=\pi_2=\pi \end{gather} 検証したい仮説の下では、標本対数リスク比は、漸近的に \begin{gather} \hat{\theta} \sim \mathrm{N} \left[0,\frac{1-\pi}{\pi} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\right] \end{gather} 総数 $N$ のサンプルを集めるときの各群の割合が $\xi_1,\xi_2$ のとき、$n_1=N\xi_1,n_2=N\xi_2$ なので、 \begin{gather} \hat{\theta} \sim \mathrm{N} \left(0,\sigma_0^2\right)\\ \sigma_0^2=\frac{1-\pi}{\pi\xi_1\xi_2} \cdot \frac{1}{N}=\frac{\phi_0^2}{N} \end{gather} $\hat{\theta}$ を標準化した値は、 \begin{gather} \frac{\hat{\theta}}{\sigma_0}=Z \sim N \left(0,1\right) \end{gather} 検証したい仮説の下での $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 上側信頼限界と下側信頼限界は、 \begin{gather} {\hat{\theta}}_L=\hat{\theta}-Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0\\ {\hat{\theta}}_U=\hat{\theta}+Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0 \end{gather} 検証したい仮説のもとで同等性が示される確率は、 \begin{gather} P \left\{ \left(-\theta_E \le \hat{\theta}-Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0\right)\cap \left(\hat{\theta}+Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0 \le \theta_E\right)\right\}=1-\beta\\ P \left(-\theta_E+Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0 \le \hat{\theta} \le \theta_E-Z_{1-0.5\alpha} \cdot \sigma_0\right)=1-\beta\\ P \left(-\frac{\theta_E}{\sigma_0}+Z_{1-0.5\alpha} \le \frac{\hat{\theta}}{\sigma_0} \le \frac{\theta_E}{\sigma_0}-Z_{1-0.5\alpha}\right)=1-\beta\\ P \left(-Z_{1-0.5\beta} \le Z \le Z_{1-0.5\beta}\right)=1-\beta \end{gather} したがって、 \begin{gather} \frac{\theta_E}{\sigma_0}-Z_{1-0.5\alpha}=Z_{1-0.5\beta}\\ \theta_E= \left(Z_{1-0.5\alpha}+Z_{1-0.5\beta}\right)\sigma_0\\ \theta_E= \left(Z_{1-0.5\alpha}+Z_{1-0.5\beta}\right) \cdot \frac{\phi_0}{\sqrt N} \end{gather} これを総サンプルサイズ $N$ について解くと、 \begin{gather} \sqrt N=\frac{ \left(Z_{1-0.5\alpha}+Z_{1-0.5\beta}\right)\phi_0}{\Delta_E}\\ N= \left[\frac{ \left(Z_{1-0.5\alpha}+Z_{1-0.5\beta}\right)\phi_0}{\Delta_E}\right]^2 \end{gather} $\blacksquare$
問題3.6.2：同等性試験におけるサンプルサイズ設計の例題
与条件が以下のとき、 \begin{gather} \pi=0.6 \quad \theta_E=\log{1.1}\\ \xi_1=\xi_2=0.5\\ \alpha=0.05 \quad 1-\beta=0.90 \end{gather} 公式に代入すると、 \begin{gather} N=\frac{ \left(1.960+1.645\right)^2}{ \left(\log{1.1}\right)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \cdot \frac{1-0.6}{0.6}=3814.7 \end{gather} $\blacksquare$
問題3.6.3：非劣性マージン・有意水準・検出力の関係
非劣性マージン $\Delta_U$ を用いると、 \begin{gather} \hat{\theta}+Z_{1-\alpha} \cdot \sigma_0 \le \Delta_U \end{gather} のときに非劣性が示せる。 同等性のときと同様の流れで考えていくと、検証したい仮説のもとで非劣性が示される確率は、 \begin{gather} P \left(\hat{\theta}+Z_{1-\alpha} \cdot \sigma_0 \le \Delta_U\right)=1-\beta\\ P \left(\hat{\theta} \le \Delta_U-Z_{1-\alpha} \cdot \sigma_0\right)=1-\beta\\ P \left(\frac{\hat{\theta}}{\sigma_0} \le \frac{\Delta_U}{\sigma_0}-Z_{1-\alpha}\right)=1-\beta\\ P \left(Z \le Z_{1-\beta}\right)=1-\beta \end{gather} したがって、 \begin{gather} \frac{\Delta_U}{\sigma_0}-Z_{1-\alpha}=Z_{1-\beta}\\ \Delta_U= \left(Z_{1-\alpha}+Z_{1-\beta}\right)\sigma_0\\ \Delta_U= \left(Z_{1-\alpha}+Z_{1-\beta}\right) \cdot \frac{\phi_0}{\sqrt N} \end{gather} これを総サンプルサイズ $N$ について解くと、 \begin{gather} \sqrt N=\frac{ \left(Z_{1-\alpha}+Z_{1-\beta}\right)\phi_0}{\Delta_U}\\ N= \left[\frac{ \left(Z_{1-\alpha}+Z_{1-\beta}\right)\phi_0}{\Delta_U}\right]^2 \end{gather} $\blacksquare$
問題3.6.4：非劣性試験におけるサンプルサイズ設計の例題
同等性試験と同様の条件のとき、公式に代入すると、 \begin{gather} N=\frac{ \left(1.645+1.282\right)^2}{ \left(\log{1.1}\right)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \cdot \frac{1-0.6}{0.6}=2514.0 \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.124-125
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.100-103
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