人口寄与危険割合と曝露オッズ比の関係

人口寄与危険割合オッズは母集団の曝露割合と発症リスク比を用いると、 \begin{align} \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}=\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right) \end{align} 希少疾患の仮定の下で、$\lim_{\delta\rightarrow0}{\mathrm{RR}}=\mathrm{{\rm OR}_{Retro}}$ より、 \begin{align} \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}\cong\alpha_1 \left(\mathrm{{\rm OR}_{Retro}}-1\right) \end{align} 両辺の対数をとると、 \begin{align} \log{\frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}}=\log{\alpha_1 \left(\mathrm{{\rm OR}_{Retro}}-1\right)} \end{align} この一致推定量は、 \begin{align} \log{\frac{\mathrm{\widehat{PAR}}}{1-\mathrm{\widehat{PAR}}}}=\log{\alpha_1 \left(\mathrm{{\widehat{OR}}_{Retro}}-1\right)} \end{align}

ここから、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性 $\mathrm{{\rm OR}_{Pro}}=\mathrm{{\rm OR}_{Retro}}$ より、発症オッズ比を用いて考える。

標本人口寄与危険割合対数オッズの漸近分散は、 \begin{align} V \left[\log{\frac{\mathrm{\widehat{PAR}}}{1-\mathrm{\widehat{PAR}}}}\right]=\frac{\pi_1}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left\{\frac{n_0\pi_0 \left(1-\pi_1\right)+n_1\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}{n_1n_0\pi_0}\right\}\tag{1} \end{align} また、 \begin{align} \mathrm{OR}-1&=\frac{\pi_1 \left(1-\pi_0\right)-\pi_0 \left(1-\pi_1\right)}{\pi_0 \left(1-\pi_1\right)}\\ &=\frac{\pi_1-\pi_1\pi_0-\pi_0+\pi_1\pi_0}{\pi_0 \left(1-\pi_1\right)}\\ &=\frac{\pi_1-\pi_0}{\pi_0 \left(1-\pi_1\right)} \end{align} したがって、 \begin{align} \left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)^2V \left(\log{\mathrm{OR}}\right)&=\frac{\pi_1^2 \left(1-\pi_0\right)^2}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left[\frac{1}{n_1\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}+\frac{1}{n_0\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}\right]\\ &=\frac{\pi_1}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left[\frac{\pi_1 \left(1-\pi_2\right)^2}{n_1\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}+\frac{\pi_1 \left(1-\pi_0\right)^2}{n_0\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}\right]\\ &=\frac{\pi_1}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left[\frac{ \left(1-\pi_2\right)^2}{n_1 \left(1-\pi_1\right)}+\frac{\pi_1 \left(1-\pi_0\right)^2}{n_0\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}\right]\tag{2} \end{align}

ここで、全体の有病割合は、曝露群と非曝露群の発症割合の和 \begin{align} \delta=P \left(D\right)=P \left(D\middle| E\right)+P \left(D\middle|\bar{E}\right)=\pi_1+\pi_0 \end{align} であり、 希少疾患 $\delta\rightarrow0$ のとき、両群の発症割合も限りなく小さくなっていく、すなわち、 \begin{gather} \lim_{\delta\rightarrow0}{\pi_1}\rightarrow0 \quad \lim_{\delta\rightarrow0}{\pi_0}\rightarrow0\\ \lim_{\delta\rightarrow0}{ \left(1-\pi_1\right)}\rightarrow1 \quad \lim_{\delta\rightarrow0}{ \left(1-\pi_0\right)}\rightarrow1 \end{gather} と考えられる。 このとき、式 $(1)$ は、 \begin{align} V \left[\log{\frac{\mathrm{\widehat{PAR}}}{1-\mathrm{\widehat{PAR}}}}\right]=\frac{\pi_1}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left(\frac{n_0\pi_0+n_1\pi_1}{n_1n_0\pi_0}\right) \end{align} 式 $(2)$ は、 \begin{align} \left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)^2V \left(\log{\mathrm{OR}}\right)&=\frac{\pi_1}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{\pi_1}{n_0\pi_0}\right)\\ &=\frac{\pi_1}{ \left(\pi_1-\pi_0\right)^2} \left(\frac{n_0\pi_0+n_1\pi_1}{n_1n_0\pi_0}\right) \end{align} したがって、希少疾患のとき、漸近的に、 \begin{align} V \left[\log{\frac{\mathrm{\mathrm{}\widehat{PAR}\mathrm{}} }{1-\mathrm{\mathrm{}\widehat{PAR}\mathrm{}} }}\right]\cong \left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)^2V \left(\log{\mathrm{OR}}\right) \end{align} そして、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性 \begin{align} \mathrm{{\rm OR}_{Pro}}=\mathrm{{\rm OR}_{Retro}} \end{align} をもとに、 曝露オッズ比の推定値 \begin{align} \mathrm{{\widehat{OR}}_{Retro}}=\frac{bc}{ad} \end{align} 対数オッズ比の分散の公式 \begin{gather} V \left(\log{\mathrm{{\widehat{OR}}_{Retro}}}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\\ \end{gather} を用いて、 分散の一致推定量を計算することができる。 $\blacksquare$