人口寄与危険割合と曝露オッズ比の関係

人口寄与危険割合オッズは母集団の曝露割合と発症リスク比を用いると、 $$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}={\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)\end{array}$$ 希少疾患の仮定の下で、$\underset{\delta \to 0}{lim}\mathrm{RR}={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}$ より、 $$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}\cong {\alpha }_1({\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}-1)\end{array}$$ 両辺の対数をとると、 $$\begin{array}{r}\log \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}=\log {\alpha }_1({\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}-1)\end{array}$$ この一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}=\log {\alpha }_1({\widehat{\mathrm{OR}}}_{\mathrm{Retro}}-1)\end{array}$$

ここから、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性 ${\mathrm{OR}}_{\mathrm{Pro}}={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}$ より、発症オッズ比を用いて考える。

標本人口寄与危険割合対数オッズの漸近分散は、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& V[\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}]=\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}\left\{\frac{n_0{\pi }_0(1-{\pi }_1)+n_1{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n_1{n}_0{\pi }_0}\right\}\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{OR}-1& =\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_0)-{\pi }_0(1-{\pi }_1)}{{\pi }_0(1-{\pi }_1)}\\ & =\frac{{\pi }_1-{\pi }_1{\pi }_0-{\pi }_0+{\pi }_1{\pi }_0}{{\pi }_0(1-{\pi }_1)}\\ & =\frac{{\pi }_1-{\pi }_0}{{\pi }_0(1-{\pi }_1)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)}^{2}V(\log \mathrm{OR})& =\frac{{\pi }_1^2{(1-{\pi }_0)}^2}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}[\frac{1}{n_1{\pi }_1(1-{\pi }_1)}+\frac{1}{n_0{\pi }_0(1-{\pi }_0)}]\\ & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}[\frac{{\pi }_1{(1-{\pi }_2)}^2}{n_1{\pi }_1(1-{\pi }_1)}+\frac{{\pi }_1{(1-{\pi }_0)}^2}{n_0{\pi }_0(1-{\pi }_0)}]\\ \text{(2)}& & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}[\frac{{(1-{\pi }_2)}^2}{n_1(1-{\pi }_1)}+\frac{{\pi }_1{(1-{\pi }_0)}^2}{n_0{\pi }_0(1-{\pi }_0)}]\end{array}$$

ここで、全体の有病割合は、曝露群と非曝露群の発症割合の和 $$\begin{array}{r}\delta =P\left(D\right)=P\left(D\right|E)+P\left(D\right|\overline{E})={\pi }_1+{\pi }_0\end{array}$$ であり、 希少疾患 $\delta \to 0$ のとき、両群の発症割合も限りなく小さくなっていく、すなわち、 $$\begin{array}{c}\underset{\delta \to 0}{lim}{\pi }_1\to 0\underset{\delta \to 0}{lim}{\pi }_0\to 0\\ \underset{\delta \to 0}{lim}(1-{\pi }_1)\to 1\underset{\delta \to 0}{lim}(1-{\pi }_0)\to 1\end{array}$$ と考えられる。 このとき、式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{r}V[\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}]=\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}\left(\frac{n_0{\pi }_0+n_1{\pi }_1}{n_1{n}_0{\pi }_0}\right)\end{array}$$ 式 $(2)$ は、 $$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)}^{2}V(\log \mathrm{OR})& =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}(\frac{1}{n_1}+\frac{{\pi }_1}{n_0{\pi }_0})\\ & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_0)}^2}\left(\frac{n_0{\pi }_0+n_1{\pi }_1}{n_1{n}_0{\pi }_0}\right)\end{array}$$ したがって、希少疾患のとき、漸近的に、 $$\begin{array}{r}V[\log \frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}]\cong {\left(\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OR}-1}\right)}^{2}V(\log \mathrm{OR})\end{array}$$ そして、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性 $$\begin{array}{r}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{Pro}}={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}\end{array}$$ をもとに、 曝露オッズ比の推定値 $$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{OR}}}_{\mathrm{Retro}}=\frac{bc}{ad}\end{array}$$ 対数オッズ比の分散の公式 $$\begin{array}{c}V(\log {\widehat{\mathrm{OR}}}_{\mathrm{Retro}})=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\end{array}$$ を用いて、 分散の一致推定量を計算することができる。 $◼$