本稿では、横断研究やコホート研究における有病率・発生割合の信頼区間の導出を行っています。本稿における方法は、Thomas-Gart（1977）によって提唱された方法で、周辺度数が固定されているとの仮定の下、オッズ比の正確な信頼区間が推定されている場合に適用できる方法です。この方法は、フィッシャーの正確確率検定に対応する信頼区間の正確な算出法とされています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
【定理】有病率・発生割合の信頼区間（Thomas-Gartの方法）
【定理】
有病率・発生割合の信頼区間（Thomas-Gartの方法）
Confidence Interval for Prevalence or Incidence Proportion by Thomas-Gart Method
マッチングなしのコホート研究における有病率・発生割合について、周辺度数
\begin{gather}
n_1 \quad n_0 \quad m_1 \quad m_0
\end{gather}
が固定されており、
オッズ比の正確な信頼限界
\begin{gather}
\left[{\widetilde{\varphi}}_L,{\widetilde{\varphi}}_U\right]
\end{gather}
が推定されているとき、
対応する発症確率 $\pi_1,\pi_2$ の信頼限界は、
\begin{gather}
{\hat{\pi}}_{1L}=\frac{ \left[{\widetilde{\varphi}}_L \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]-\sqrt{ \left[{\widetilde{\varphi}}_L \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]^2-4{\widetilde{\varphi}}_Lm_1 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_L-1\right)\right]}}{2 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_L-1\right)\right]}\\
{\hat{\pi}}_{0L}=\frac{m_1-n_1{\hat{\pi}}_{1L}}{n_0}\\
{\hat{\pi}}_{1U}=\frac{ \left[{\widetilde{\varphi}}_U \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]-\sqrt{ \left[{\widetilde{\varphi}}_U \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]^2-4{\widetilde{\varphi}}_Um_1 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_U-1\right)\right]}}{2 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_U-1\right)\right]}\\
{\hat{\pi}}_{0U}=\frac{m_1-n_1{\hat{\pi}}_{1U}}{n_0}
\end{gather}
で与えられ、
（i）リスク差の正確な上下信頼限界
\begin{align}
{\mathrm{\widehat{RD}}}_L={\hat{\pi}}_{1L}-{\hat{\pi}}_{0L} \quad {\mathrm{\widehat{RD}}}_U={\hat{\pi}}_{1U}-{\hat{\pi}}_{0U}
\end{align}
（ii）リスク比の正確な上下信頼限界
\begin{align}
{\mathrm{\widehat{RR}}}_L=\frac{{\hat{\pi}}_{1L}}{{\hat{\pi}}_{0L}} \quad {\mathrm{\widehat{RR}}}_U=\frac{{\hat{\pi}}_{1U}}{{\hat{\pi}}_{0U}}
\end{align}
で与えられる。
導出①：オッズ比の期待値
二項分布の期待値の公式より、各群の発症者数 $a,b$ の期待値は、 \begin{gather} E \left(a\right)=n_1\pi_1\\ E \left(b\right)=n_0\pi_0\tag{1} \end{gather} 周辺度数 $n_1,n_2,m_1,m_2$ が固定されているとき、 \begin{gather} b=m_1-a \end{gather} 両辺の期待値を取ると、 \begin{gather} E \left(b\right)=m_1-n_1\pi_1\tag{2} \end{gather} 式 $(1),(2)$ を $\pi_2$ について解くと、 \begin{gather} n_0\pi_0=m_1-n_1\pi_1\\ \pi_0=\frac{m_1-n_1\pi_1}{n_2}\tag{3} \end{gather} オッズ比の定義式 $\varphi=\frac{\pi_1}{1-\pi_1} \cdot \frac{1-\pi_0}{\pi_0}$ より、 \begin{align} \widetilde{\varphi}&=\frac{\pi_1}{1-\pi_1} \cdot \frac{n_0}{m_1-n_1\pi_1} \cdot \frac{n_0- \left(m_1-n_1\pi_1\right)}{n_0}\\ &=\frac{\pi_1 \left(n_0-m_1+n_1\pi_1\right)}{ \left(1-\pi_1\right) \left(m_1-n_1\pi_1\right)} \end{align} $\blacksquare$
導出②：2次方程式の導出
先ほどの式を $\pi_1$ について整理すると、 \begin{gather} \widetilde{\varphi} \left(1-\pi_1\right) \left(m_1-n_1\pi_1\right)=\pi_1 \left(n_0-m_1+n_1\pi_1\right)\\ \widetilde{\varphi}m_1-\widetilde{\varphi}n_1\pi_1-\widetilde{\varphi}m_1\pi_1+\widetilde{\varphi}n_1\pi_1^2=n_1\pi_1^2+n_0\pi_1-m_1\pi_1\\ n_1\pi_1^2-\widetilde{\varphi}n_1\pi_1^2+\widetilde{\varphi}n_1\pi_1+\widetilde{\varphi}m_1\pi_1+n_0\pi_1-m_1\pi_1+\widetilde{\varphi}m_1=0\\ \left[n_1 \left(1-\widetilde{\varphi}\right)\right]\pi_1^2+ \left[\widetilde{\varphi} \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]\pi_1-\widetilde{\varphi}m_1=0\\ \left[n_1 \left(\widetilde{\varphi}-1\right)\right]\pi_1^2- \left[\widetilde{\varphi} \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]\pi_1+\widetilde{\varphi}m_1=0 \end{gather} $\blacksquare$
導出③：曝露群の発症確率
2次方程式の解の公式 $ax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 \begin{align} \pi_1=\frac{ \left[\widetilde{\varphi} \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]\pm\sqrt{ \left[\widetilde{\varphi} \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]^2-4\widetilde{\varphi}m_1 \left[n_1 \left(\widetilde{\varphi}-1\right)\right]}}{2 \left[n_1 \left(\widetilde{\varphi}-1\right)\right]} \end{align} したがって、 \begin{align} C= \left[\widetilde{\varphi} \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]-\sqrt{ \left[\widetilde{\varphi} \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]^2-4\widetilde{\varphi}m_1 \left[n_1 \left(\widetilde{\varphi}-1\right)\right]} \end{align} とすると、 \begin{align} \pi_1=\frac{C}{2 \left[n_1 \left(\widetilde{\varphi}-1\right)\right]} \end{align} $\blacksquare$
導出④：非曝露群の発症確率
式 $(3)$ を再掲すると、
\begin{gather}
\pi_0=\frac{m_1-n_1\pi_1}{n_0}
\end{gather}
オッズ比の上下信頼限界をそれぞれ ${\widetilde{\varphi}}_L,{\widetilde{\varphi}}_U$ とすると、
\begin{gather}
{\hat{\pi}}_{1L}=\frac{ \left[{\widetilde{\varphi}}_L \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]-\sqrt{ \left[{\widetilde{\varphi}}_L \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]^2-4{\widetilde{\varphi}}_Lm_1 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_L-1\right)\right]}}{2 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_L-1\right)\right]}\\
{\hat{\pi}}_{0L}=\frac{m_1-n_1{\hat{\pi}}_{1L}}{n_0}\\
{\hat{\pi}}_{1U}=\frac{ \left[{\widetilde{\varphi}}_U \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]-\sqrt{ \left[{\widetilde{\varphi}}_U \left(n_1+m_1\right)+ \left(n_0-m_1\right)\right]^2-4{\widetilde{\varphi}}_Um_1 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_U-1\right)\right]}}{2 \left[n_1 \left({\widetilde{\varphi}}_U-1\right)\right]}\\
{\hat{\pi}}_{0U}=\frac{m_1-n_1{\hat{\pi}}_{1U}}{n_0}
\end{gather}
これより、
（i）リスク差の正確な上下信頼限界
\begin{align}
{\mathrm{\widehat{RD}}}_L={\hat{\pi}}_{1L}-{\hat{\pi}}_{0L} \quad {\mathrm{\widehat{RD}}}_U={\hat{\pi}}_{1U}-{\hat{\pi}}_{2U}
\end{align}
（ii）リスク比の正確な上下信頼限界
\begin{align}
{\mathrm{\widehat{RR}}}_L=\frac{{\hat{\pi}}_{1L}}{{\hat{\pi}}_{0L}} \quad {\mathrm{\widehat{RR}}}_U=\frac{{\hat{\pi}}_{1U}}{{\hat{\pi}}_{0U}}
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.33-34
- Thomas, D.G. & Gart, J.J.. A Table of Exact Confidence Limits for Differences and Ratios of Two Proportions and Their Odds Ratios. Journal of the American Statistical Association. 1977;72(357):73-76, doi: https://doi.org/10.2307/2286908
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