横断研究・コホート研究【有病率・発生割合】（マッチングなし・層化あり）

本稿では、横断研究・コホート研究の研究デザインのうち、①有病率（横断研究）や発生割合（コホート研究）を曝露効果の指標とする、②マッチングなし、③層化ありのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
• 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,{\pi }_0$ など）や「2」である場合（$n_2,{\pi }_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。

 

周辺解析

分割表の形式

曝露群と非曝露群の観察対象人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{n}_{1\bullet }{n}_{0\bullet }\\ N_{\bullet }=n_{1\bullet }+n_{0\bullet }\end{array}$$ 発症者と非発症者の人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{m}_{1\bullet }{m}_{0\bullet }\\ N_{\bullet }=m_{1\bullet }+m_{0\bullet }\end{array}$$ 曝露群と非曝露群の発症人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{a}_{\bullet }{b}_{\bullet }\end{array}$$ 曝露群と非曝露群の非発症人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{c}_{\bullet }{d}_{\bullet }\end{array}$$ とする。

表1 横断研究・コホート研究に関する $2\times 2$ 分割表（観測値）

	発症あり $\left(D\right)$	発症なし $(\overline{D})$	合計
曝露群 $\left(E\right)$	$a_{\bullet }$	$c_{\bullet }$	$n_{1\bullet }$
非曝露群 $(\overline{E})$	$b_{\bullet }$	$d_{\bullet }$	$n_{0\bullet }$
合計	$m_{1\bullet }$	$m_{0\bullet }$	$N_{\bullet }$

 

統計モデル①：積二項モデル

曝露群と非曝露群の発症人数 $a_{\bullet },b_{\bullet }$ が互いに独立に、
試行回数がそれぞれ $$\begin{array}{r}{n}_{1\bullet }{n}_{0\bullet }\end{array}$$ 母比率（発症確率）がそれぞれ $$\begin{array}{r}{\pi }_{1\bullet }=P\left(D\right|E){\pi }_{0\bullet }=P\left(D\right|\overline{E})\end{array}$$ である 二項分布 $$\begin{array}{r}{a}_{\bullet }\sim \mathrm{B}(n_{1\bullet },{\pi }_{1\bullet })b_{\bullet }\sim \mathrm{B}(n_{0\bullet },{\pi }_{0\bullet })\end{array}$$ に従うとする。

表2 横断研究・コホート研究に関する $2\times 2$ 分割表（統計モデル）

	発症あり $\left(D\right)$	発症なし $(\overline{D})$	合計
曝露群 $\left(E\right)$	${\pi }_{1\bullet }$	$1-{\pi }_{1\bullet }$	$1$
非曝露群 $(\overline{E})$	${\pi }_{0\bullet }$	$1-{\pi }_{0\bullet }$	$1$

 

統計モデル②：超幾何分布モデル

周辺度数 $$\begin{array}{c}{n}_{1\bullet }{n}_{0\bullet }{m}_{1\bullet }{m}_{0\bullet }\end{array}$$ が固定されているという条件の下で、 曝露群の発症人数 $a_{\bullet }$ が超幾何分布 $$\begin{array}{r}{a}_{\bullet }\sim \mathrm{HG}(N_{\bullet },n_{1\bullet },m_{1\bullet })\end{array}$$ に従うとする。

 

曝露効果の指標

発生割合

$$\begin{array}{c}{\pi }_{1\bullet }{\pi }_{0\bullet }\\ {\hat{\pi }}_{1\bullet }=\frac{a_{\bullet }}{n_{1\bullet }}{\hat{\pi }}_{0\bullet }=\frac{b_{\bullet }}{n_{0\bullet }}\end{array}$$

発生オッズ

$$\begin{array}{c}{\mathrm{OD}}_{1\bullet }=\frac{{\pi }_{1\bullet }}{1-{\pi }_{1\bullet }}{\mathrm{OD}}_{0\bullet }=\frac{{\pi }_{0\bullet }}{1-{\pi }_{0\bullet }}\\ {\widehat{\mathrm{OD}}}_{1\bullet }=\frac{{\hat{\pi }}_{1\bullet }}{1-{\hat{\pi }}_{1\bullet }}=\frac{a_{\bullet }}{c_{\bullet }}{\widehat{\mathrm{OD}}}_{0\bullet }=\frac{{\hat{\pi }}_{0\bullet }}{1-{\hat{\pi }}_{0\bullet }}=\frac{b_{\bullet }}{d_{\bullet }}\end{array}$$

発生リスク差

$$\begin{array}{c}\delta ={\mathrm{RD}}_{\bullet }={\pi }_{1\bullet }-{\pi }_{0\bullet }\\ \hat{\delta }={\widehat{\mathrm{RD}}}_{\bullet }={\hat{\pi }}_{1\bullet }-{\hat{\pi }}_{0\bullet }=\frac{a_{\bullet }}{n_{1\bullet }}-\frac{b_{\bullet }}{n_{0\bullet }}\end{array}$$

発生リスク比

$$\begin{array}{c}\delta ={\mathrm{RR}}_{\bullet }=\frac{{\pi }_{1\bullet }}{{\pi }_{0\bullet }}\\ \hat{\delta }={\widehat{\mathrm{RR}}}_{\bullet }=\frac{{\hat{\pi }}_{1\bullet }}{{\hat{\pi }}_{0\bullet }}=\frac{a_{\bullet }{n}_{0\bullet }}{b_{\bullet }{n}_{1\bullet }}\end{array}$$

発生オッズ比

$$\begin{array}{c}\delta ={\mathrm{OR}}_{\bullet }=\frac{{\mathrm{OD}}_{1\bullet }}{{\mathrm{OD}}_{0\bullet }}=\frac{{\pi }_{1\bullet }}{1-{\pi }_{1\bullet }}\cdot \frac{1-{\pi }_{0\bullet }}{{\pi }_{0\bullet }}\\ \hat{\delta }={\widehat{\mathrm{OR}}}_{\bullet }=\frac{{\widehat{\mathrm{OD}}}_{1\bullet }}{{\widehat{\mathrm{OD}}}_{0\bullet }}=\frac{{\hat{\pi }}_{1\bullet }}{1-{\hat{\pi }}_{1\bullet }}\cdot \frac{1-{\hat{\pi }}_{0\bullet }}{{\hat{\pi }}_{0\bullet }}=\frac{a_{\bullet }{d}_{\bullet }}{b_{\bullet }{c}_{\bullet }}\end{array}$$

交絡の調整

しかし、このような単純な周辺解析を行うと、交絡の影響により、誤った結論に陥る可能性がある。そのため、「対象者の限定」の原理にもとづいて交絡因子の影響を取り除くために、得られたデータを交絡因子の水準にもとづいて、互いに独立な $K$ 個の層に層化する。

 

層別解析

分割表の形式

第 $k$ 層における曝露群と非曝露群の観察対象人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{n}_{1k}{n}_{0k}\\ N_k=n_{1k}+n_{0k}\end{array}$$ 発症者と非発症者の人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{m}_{1k}{m}_{0k}\\ N_k=m_{1k}+m_{0k}\end{array}$$ 曝露群と非曝露群の発症人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{a}_k{b}_k\end{array}$$ 曝露群と非曝露群の非発症人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{c}_k{d}_k\end{array}$$ とする。

表3 横断研究・コホート研究に関する $2\times 2$ 分割表（第 $k$ 層の観測値）

	発症あり $\left(D\right)$	発症なし $(\overline{D})$	合計
曝露群 $\left(E\right)$	$a_k$	$c_k$	$n_{1k}$
非曝露群 $(\overline{E})$	$b_k$	$d_k$	$n_{0k}$
合計	$m_{1k}$	$m_{0k}$	$N_k$

ただし、 $$\begin{array}{c}{a}_{\bullet }=\sum _{k=1}^K{a}_k{b}_{\bullet }=\sum _{k=1}^K{b}_k\\ c_{\bullet }=\sum _{k=1}^K{c}_k{d}_{\bullet }=\sum _{k=1}^K{d}_k\\ m_{1\bullet }=\sum _{k=1}^K{m}_{1k}{m}_{0\bullet }=\sum _{k=1}^K{m}_{0k}\\ n_{1\bullet }=\sum _{k=1}^K{n}_{1k}{n}_{0\bullet }=\sum _{k=1}^K{n}_{0k}\\ N_{\bullet }=\sum _{k=1}^K{N}_k\end{array}$$

 

統計モデル①：積二項モデル

第 $k$ 層の曝露群と非曝露群の発症人数 $a_k,b_k$ が互いに独立に、 試行回数がそれぞれ $$\begin{array}{r}{n}_{1k}{n}_{0k}\end{array}$$ 母比率（発症確率）がそれぞれ $$\begin{array}{r}{\pi }_{1k}=P\left(D\right|E){\pi }_{0k}=P\left(D\right|\overline{E})\end{array}$$ である 二項分布 $$\begin{array}{r}{a}_k\sim \mathrm{B}(n_{1k},{\pi }_{1k})b_k\sim \mathrm{B}(n_{0k},{\pi }_{0k})\end{array}$$ に従うとする。

表4 横断研究・コホート研究に関する $2\times 2$ 分割表（第 $k$ 層の統計モデル）

	発症あり $\left(D\right)$	発症なし $(\overline{D})$	合計
曝露群 $\left(E\right)$	${\pi }_{1k}$	$1-{\pi }_{1k}$	$1$
非曝露群 $(\overline{E})$	${\pi }_{0k}$	$1-{\pi }_{0k}$	$1$

積二項尤度

$$\begin{array}{r}{H}_0:{\pi }_{1k}={\pi }_{0k}(={\pi }_k)\mathrm{vs}.H_1:{\pi }_{1k}\ne {\pi }_{0k}\end{array}$$ として、 第 $k$ 層の尤度関数 $$\begin{array}{c}{L}_{1k}({\pi }_{1k},{\pi }_{0k})={}_{n_{1k}}{C}_{a_k}\cdot {\pi }_{1k}^{a_k}{(1-{\pi }_{1k})}^{n_{1k}-a_k}\cdot {}_{n_{0k}}{C}_{b_k}\cdot {\pi }_{0k}^{b_k}{(1-{\pi }_{0k})}^{n_{0k}-b_k}\\ L_{0k}\left({\pi }_k\right)={}_{n_1}{C}_{a_k}\cdot {}_{n_0}{C}_{b_k}\cdot {\pi }_k^{a_k+b_k}{(1-{\pi }_k)}^{n_{1k}+n_{0k}-a_k-b_k}\end{array}$$ 各層の発症人数が互いに独立なとき、全体の尤度関数 $$\begin{array}{c}{L}_1({\mathit{\pi }}_{\mathbf{1}},{\mathit{\pi }}_{\mathbf{0}})=\prod _{k=1}^K{}_{n_{1k}}{C}_{a_k}\cdot {\pi }_{1k}^{a_k}{(1-{\pi }_{1k})}^{n_{1k}-a_k}\cdot {}_{n_{0k}}{C}_{b_k}\cdot {\pi }_{0k}^{b_k}{(1-{\pi }_{0k})}^{n_{0k}-b_k}\\ L_0\left(\mathit{\pi }\right)=\prod _{k=1}^K{}_{n_1}{C}_{a_k}\cdot {}_{n_0}{C}_{b_k}\cdot {\pi }_k^{a_k+b_k}{(1-{\pi }_k)}^{n_{1k}+n_{0k}-a_k-b_k}\end{array}$$

 

統計モデル②：超幾何分布モデル

各層の周辺度数 $$\begin{array}{c}{n}_{1k}{n}_{0k}{m}_{1k}{m}_{0k}\end{array}$$ が固定されているという条件の下で、 各層の曝露群の発症人数 $a_k$ が超幾何分布 $$\begin{array}{r}{a}_k\sim \mathrm{HG}(N_k,n_{1k},m_{1k})\end{array}$$ に従うとする。

超幾何尤度

$$\begin{array}{c}{H}_0:{\phi }_k=1\mathrm{vs}.H_1:{\phi }_k\ne 1\\ {\phi }_k={\mathrm{OR}}_k\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{rl}{L}_{1k}\left({\phi }_k\right)& =\frac{{}_{n_1}{C}_{a_k}\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-a_k}\cdot {\phi }_k^{a_k}}{\sum _{i=a_{kl}}^{a_{ku}}{}_{n_1}{C}_i\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-i}\cdot {\phi }_k^i}\\ L_{0k}\left({\phi }_k\right)& =\frac{{}_{n_{1k}}{C}_{a_k}\cdot {}_{N_k-n_{1k}}{C}_{m_{1k}-a_k}}{{}_{N_k}{C}_{m_{1k}}}\\ & =\frac{n_{1k}!n_{0k}!m_{1k}!m_{0k}!}{N_k!a_k!b_k!c_k!d_k!}\end{array}$$ 各層の発症人数が互いに独立なとき、全体の尤度関数 $$\begin{array}{c}{L}_1\left(\mathit{\phi }\right)=\prod _{k=1}^K\frac{{}_{n_1}{C}_{a_k}\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-a_k}\cdot {\phi }_k^{a_k}}{\sum _{i=a_{kl}}^{a_{ku}}{}_{n_1}{C}_i\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-i}\cdot {\phi }_k^i}\\ L_0\left(\mathit{\phi }\right)=\prod _{k=1}^K\frac{n_{1k}!n_{0k}!m_{1k}!m_{0k}!}{N_k!a_k!b_k!c_k!d_k!}\end{array}$$

 

曝露効果の指標

発生割合

$$\begin{array}{c}{\pi }_{1k}{\pi }_{0k}\\ {\hat{\pi }}_{1k}=\frac{a_k}{n_{1k}}{\hat{\pi }}_0=\frac{b_k}{n_{0k}}\end{array}$$

発生オッズ

$$\begin{array}{c}{\mathrm{OD}}_{1k}=\frac{{\pi }_{1k}}{1-{\pi }_{1k}}{\mathrm{OD}}_{0k}=\frac{{\pi }_{0k}}{1-{\pi }_{0k}}\\ {\widehat{\mathrm{OD}}}_{1k}=\frac{{\hat{\pi }}_{1k}}{1-{\hat{\pi }}_{1k}}=\frac{a_k}{c_k}{\widehat{\mathrm{OD}}}_{0k}=\frac{{\hat{\pi }}_{0k}}{1-{\hat{\pi }}_{0k}}=\frac{b_k}{d_k}\end{array}$$

発生リスク差

$$\begin{array}{c}\delta ={\mathrm{RD}}_k={\pi }_{1k}-{\pi }_{0k}\\ \hat{\delta }={\widehat{\mathrm{RD}}}_k={\hat{\pi }}_{1k}-{\hat{\pi }}_{0k}=\frac{a_k}{n_{1k}}-\frac{b_k}{n_{0k}}\end{array}$$

発生リスク比

$$\begin{array}{c}\delta ={\mathrm{RR}}_k=\frac{{\pi }_{1\bullet }}{{\pi }_{0\bullet }}\\ \hat{\delta }={\widehat{\mathrm{RR}}}_k=\frac{{\hat{\pi }}_{1k}}{{\hat{\pi }}_{0k}}=\frac{a_k{n}_{0k}}{b_k{n}_{1k}}\end{array}$$

発生オッズ比

$$\begin{array}{c}\delta ={\mathrm{OR}}_k=\frac{{\mathrm{OD}}_{1k}}{{\mathrm{OD}}_{0k}}=\frac{{\pi }_{1k}}{1-{\pi }_{1k}}\cdot \frac{1-{\pi }_{0k}}{{\pi }_{0k}}\\ \hat{\delta }={\widehat{\mathrm{OR}}}_k=\frac{{\widehat{\mathrm{OD}}}_{1k}}{{\widehat{\mathrm{OD}}}_{0k}}=\frac{{\hat{\pi }}_{1k}}{1-{\hat{\pi }}_{1k}}\cdot \frac{1-{\hat{\pi }}_{0k}}{{\hat{\pi }}_{0k}}=\frac{a_k{d}_k}{b_k{c}_k}\end{array}$$

 

検定仮説

特に、層別解析に対するコクラン検定やマンテル・ヘンツェル検定を想定する場合、 各層に共通した曝露効果がある との前提から始める。

帰無仮説

帰無仮説は、 全層共通のオッズ比が1である すなわち、すべての $k=1,2,\cdots ,K$ に対し、 $$\begin{array}{r}{H}_0:{\phi }_k=1\end{array}$$ これは、 すべての層で曝露群と非曝露群の発症確率が等しい $$\begin{array}{r}{H}_0:{\pi }_{1k}={\pi }_{0k}\end{array}$$ という仮説と同値である。

対立仮説

対立仮説は、 1ではない全層共通のオッズ比が存在する すなわち、すべての $k=1,2,\cdots ,K$ に対し、 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\phi }_k=\phi (\ne 1)\end{array}$$ これは、 各層の曝露群と非曝露群の発症確率は等しくない $$\begin{array}{r}{H}_0:{\pi }_{1k}\ne {\pi }_{0k}\end{array}$$ という仮説と同値である。

 

参考文献

• ケネス・ロスマン 著, 矢野 栄二, 橋本 英樹, 大脇 和浩 監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.249
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.129