条件付き発症オッズ比と条件付き曝露オッズ比の同等性

ペア・マッチングを行ったコホート研究とペア・マッチングを行ったケース・コントロール研究の分割表が同じものであると仮定すると、 \begin{gather} \pi_{ED}=\pi_{11}+\pi_{12}=\phi_{11}+\phi_{12}=\phi_{DE}\tag{1}\\ \pi_{\bar{E}D}=\pi_{11}+\pi_{21}=\phi_{21}+\phi_{22}=\phi_{D\bar{E}}\tag{2}\\ \pi_{E\bar{D}}=\pi_{21}+\pi_{22}=\phi_{11}+\phi_{21}=\phi_{\bar{D}E}\tag{3}\\ \pi_{\bar{E}\bar{D}}=\pi_{12}+\pi_{22}=\phi_{12}+\phi_{22}=\phi_{\bar{D}\bar{E}}\tag{4} \end{gather} 式 $(1) \sim (4)$ と後ろ向き条件付き曝露オッズ比の定義式より、 \begin{align} \mathrm{{OR}_{CRetro}}&=\frac{\phi_{DE}}{\phi_{D\bar{E}}} \cdot \frac{\phi_{\bar{D}\bar{E}}}{\phi_{\bar{D}E}}\\ &=\frac{\pi_{ED}}{\pi_{\bar{E}D}} \cdot \frac{\pi_{\bar{E}\bar{D}}}{\pi_{E\bar{D}}}\\ &=\frac{\pi_{ED}}{\pi_{E\bar{D}}} \cdot \frac{\pi_{\bar{E}\bar{D}}}{\pi_{\bar{E}D}}\\ &=\mathrm{{OR}_{CPro}} \end{align} $\blacksquare$

〔1〕後ろ向き→前向きの同等性
後ろ向きの対称性の帰無仮説 \begin{align} H_0:\phi_{12}=\phi_{21} \end{align} が成り立つとき、 式 $(1),(3)$ より、 \begin{align} \phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\ \Leftrightarrow\phi_{11}+\phi_{12}&=\phi_{11}+\phi_{21}\\ \Leftrightarrow\phi_{12}&=\phi_{21} \end{align} 同時に、式 $(1),(3)$ より、 \begin{align} \phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\ \Leftrightarrow\pi_{ED}&=\pi_{E\bar{D}}\\ \Leftrightarrow\pi_{11}+\pi_{12}&=\pi_{21}+\pi_{22}\tag{5} \end{align} また、 \begin{align} \phi_{DE}=1-\phi_{D\bar{E}} \quad \phi_{\bar{D}E}=1-\phi_{\bar{D}\bar{E}} \end{align} という関係があるので、 \begin{align} \phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\ \Leftrightarrow1-\phi_{D\bar{E}}&=1-\phi_{\bar{D}\bar{E}}\\ \Leftrightarrow\phi_{D\bar{E}}&=\phi_{\bar{D}\bar{E}} \end{align} 式 $(2),(4)$ より、 \begin{align} \phi_{DE}&=\phi_{\bar{D}E}\\ \Leftrightarrow\pi_{\bar{E}D}&=\pi_{\bar{E}\bar{D}}\\ \Leftrightarrow\pi_{11}+\pi_{21}&=\pi_{12}+\pi_{22}\\ \Leftrightarrow\pi_{11}&=\pi_{22}\tag{6} \end{align} 式 $(5),(6)$ より、 \begin{align} \pi_{11}+\pi_{12}&=\pi_{21}+\pi_{22}\\ \Leftrightarrow\pi_{12}&=\pi_{21} \end{align}

〔2〕前向き→後ろ向きの同等性
前向きの対称性の帰無仮説 \begin{align} H_0:\pi_{12}=\pi_{21} \end{align} が成り立つとき、 式 $(1),(2)$ より、 \begin{align} \pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\ \Leftrightarrow\pi_{11}+\pi_{12}&=\pi_{11}+\pi_{21}\\ \Leftrightarrow\pi_{12}&=\pi_{22} \end{align} 同時に、式 $(1),(2)$ より、 \begin{align} \pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\ \Leftrightarrow\phi_{DE}&=\phi_{D\bar{E}}\\ \Leftrightarrow\phi_{11}+\phi_{12}&=\phi_{21}+\phi_{22}\tag{7} \end{align} また、 \begin{align} \pi_{ED}=1-\pi_{E\bar{D}} \quad \pi_{\bar{E}D}=1-\pi_{\bar{E}\bar{D}} \end{align} という関係があるので、 \begin{align} \pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\ \Leftrightarrow1-\pi_{E\bar{D}}&=1-\pi_{\bar{E}\bar{D}}\\ \Leftrightarrow\pi_{E\bar{D}}&=\pi_{\bar{E}\bar{D}} \end{align} 式 $(3),(4)$ より、 \begin{align} \pi_{ED}&=\pi_{\bar{E}D}\\ \Leftrightarrow\pi_{E\bar{D}}&=\pi_{\bar{E}\bar{D}}\\ \Leftrightarrow\phi_{11}+\phi_{21}&=\phi_{12}+\phi_{22}\tag{8} \end{align} 式 $(7)-(8)$ より、 \begin{gather} \phi_{12}-\phi_{21}=\phi_{21}-\phi_{12}\\ 2\phi_{12}=2\phi_{21}\\ \phi_{12}=\phi_{21} \end{gather} $\blacksquare$