条件付き発症オッズ比と条件付き曝露オッズ比の同等性

ペア・マッチングを行ったコホート研究とペア・マッチングを行ったケース・コントロール研究の分割表が同じものであると仮定すると、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& {\pi }_{ED}={\pi }_{11}+{\pi }_{12}={\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}={\varphi }_{DE}\text{(2)}& {\pi }_{\overline{E}D}={\pi }_{11}+{\pi }_{21}={\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}={\varphi }_{D\overline{E}}\text{(3)}& {\pi }_{E\overline{D}}={\pi }_{21}+{\pi }_{22}={\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}={\varphi }_{\overline{D}E}\text{(4)}& {\pi }_{\overline{E}\overline{D}}={\pi }_{12}+{\pi }_{22}={\varphi }_{12}+{\varphi }_{22}={\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\end{array}$$ 式 $(1)\sim (4)$ と後ろ向き条件付き曝露オッズ比の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{CRetro}}& =\frac{{\varphi }_{DE}}{{\varphi }_{D\overline{E}}}\cdot \frac{{\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}}{{\varphi }_{\overline{D}E}}\\ & =\frac{{\pi }_{ED}}{{\pi }_{\overline{E}D}}\cdot \frac{{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}}{{\pi }_{E\overline{D}}}\\ & =\frac{{\pi }_{ED}}{{\pi }_{E\overline{D}}}\cdot \frac{{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}}{{\pi }_{\overline{E}D}}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{CPro}}\end{array}$$ $◼$

〔1〕後ろ向き→前向きの同等性
後ろ向きの対称性の帰無仮説 $$\begin{array}{r}{H}_0:{\varphi }_{12}={\varphi }_{21}\end{array}$$ が成り立つとき、 式 $(1),(3)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff {\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}& ={\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}\\ \iff {\varphi }_{12}& ={\varphi }_{21}\end{array}$$ 同時に、式 $(1),(3)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff {\pi }_{ED}& ={\pi }_{E\overline{D}}\\ \text{(5)}& \iff {\pi }_{11}+{\pi }_{12}& ={\pi }_{21}+{\pi }_{22}\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{r}{\varphi }_{DE}=1-{\varphi }_{D\overline{E}}{\varphi }_{\overline{D}E}=1-{\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\end{array}$$ という関係があるので、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff 1-{\varphi }_{D\overline{E}}& =1-{\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\\ \iff {\varphi }_{D\overline{E}}& ={\varphi }_{\overline{D}\overline{E}}\end{array}$$ 式 $(2),(4)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{\overline{D}E}\\ \iff {\pi }_{\overline{E}D}& ={\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\\ \iff {\pi }_{11}+{\pi }_{21}& ={\pi }_{12}+{\pi }_{22}\\ \text{(6)}& \iff {\pi }_{11}& ={\pi }_{22}\end{array}$$ 式 $(5),(6)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{11}+{\pi }_{12}& ={\pi }_{21}+{\pi }_{22}\\ \iff {\pi }_{12}& ={\pi }_{21}\end{array}$$

〔2〕前向き→後ろ向きの同等性
前向きの対称性の帰無仮説 $$\begin{array}{r}{H}_0:{\pi }_{12}={\pi }_{21}\end{array}$$ が成り立つとき、 式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff {\pi }_{11}+{\pi }_{12}& ={\pi }_{11}+{\pi }_{21}\\ \iff {\pi }_{12}& ={\pi }_{22}\end{array}$$ 同時に、式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff {\varphi }_{DE}& ={\varphi }_{D\overline{E}}\\ \text{(7)}& \iff {\varphi }_{11}+{\varphi }_{12}& ={\varphi }_{21}+{\varphi }_{22}\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{r}{\pi }_{ED}=1-{\pi }_{E\overline{D}}{\pi }_{\overline{E}D}=1-{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\end{array}$$ という関係があるので、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff 1-{\pi }_{E\overline{D}}& =1-{\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\\ \iff {\pi }_{E\overline{D}}& ={\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\end{array}$$ 式 $(3),(4)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{ED}& ={\pi }_{\overline{E}D}\\ \iff {\pi }_{E\overline{D}}& ={\pi }_{\overline{E}\overline{D}}\\ \text{(8)}& \iff {\varphi }_{11}+{\varphi }_{21}& ={\varphi }_{12}+{\varphi }_{22}\end{array}$$ 式 $(7)-(8)$ より、 $$\begin{array}{c}{\varphi }_{12}-{\varphi }_{21}={\varphi }_{21}-{\varphi }_{12}\\ 2{\varphi }_{12}=2{\varphi }_{21}\\ {\varphi }_{12}={\varphi }_{21}\end{array}$$ $◼$