ケース・コントロール研究（マッチングあり・層化あり）-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ケース・コントロール研究（マッチングあり・層化あり）

公開日： 2022/10/02 更新日： 2022/10/12

本稿では、ケース・コントロール研究の研究デザインのうち、①マッチングあり、②層化ありのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（ $n_{0}, π_{0}$ など）や「2」である場合（ $n_{2}, π_{2}$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。

1.分割表の形式
2.統計モデル
- 2.1.四項尤度
3.曝露効果の指標
4.参考文献

分割表の形式

指示変数 $j$ を任意の被験者の発症状況を表す変数 $\begin{array}{r} j = {\begin{array}{c} 1 & Disease (D) \\ 0 & Not disease (\bar{D}) \end{array} \end{array}$ とし、発症者1人に対し、背景因子の水準が同程度の非発症者を1人マッチングし、計2人のペアを作る。そして、調整したい交絡因子の水準にもとづいて、互いに独立な $K$ 個の層に層化する。
このペアの総数（サンプルサイズ）を $\begin{array}{r} N_{k} \end{array}$ とし、曝露状況について調べる。指示変数 $Y$ を $i$ 番目のペアの $j$ 番目のメンバーの曝露状況を表す変数 $\begin{array}{r} y_{i j k} = {\begin{array}{c} 1 & Exposed (E) \\ 0 & Unexposed (\bar{E}) \end{array} \end{array}$ とする。

このとき、各ペアの発症・曝露状況は、発症者・非発症者＝①曝露あり・曝露あり、②曝露あり・曝露なし、
③曝露なし・曝露あり、④曝露なし・曝露なし $\begin{matrix} (y_{i 1 k}, y_{i 0 k}) = (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0) \end{matrix}$ のいずれかに分類される。それぞれの発症・曝露状況に該当するペアの数を $\begin{matrix} e_{k} (= n_{11 k}) f_{k} (= n_{12 k}) g_{k} (= n_{21 k}) h_{k} (= n_{22 k}) \end{matrix}$ とする。

また、周辺度数として、 ①発症者が曝露したペア、②発症者が曝露しなかったペア、
③非発症者が曝露したペア、④非発症者が曝露しなかったペアが得られる。それぞれの合計ペア数を $\begin{matrix} n_{D E k} (= n_{1 ∙ k}) n_{D \bar{E} k} (= n_{0 ∙ k}) n_{\bar{D} E k} (= n_{∙ 1 k}) n_{\bar{D} \bar{E} k} (= n_{∙ 0 k}) \end{matrix}$ とする。

表1 ペア・マッチングを行ったケース・コントロール研究に関する
$2 \times 2$ 分割表（第 $k$ 層の観測値）
		非発症者 $(\bar{D})$		合計
		曝露あり $(E)$	曝露なし $(\bar{E})$	合計
発症者 $(D)$	曝露あり $(E)$	$e_{k}$ $(= n_{11 k})$	$f_{k}$ $(= n_{12 k})$	$n_{D E k}$ $(= n_{1 ∙ k})$
発症者 $(D)$	曝露なし $(\bar{E})$	$g_{k}$ $(= n_{21 k})$	$h_{k}$ $(= n_{22 k})$	$n_{D \bar{E} k}$ $(= n_{0 ∙ k})$
合計		$n_{\bar{D} E k}$ $(= n_{∙ 1 k})$	$n_{\bar{D} \bar{E} k}$ $(= n_{∙ 0 k})$	$N_{k}$

統計モデル

各セルの観測値 $\begin{array}{r} n_{k} = (\begin{array}{c} e_{k} \\ f_{k} \\ g_{k} \\ h_{k} \end{array}) \end{array}$ が四項分布

$\begin{matrix} n_{k} \sim MN (N_{k}, ϕ_{k}) \\ ϕ_{k} = (\begin{matrix} ϕ_{11 k} \\ ϕ_{12 k} \\ ϕ_{21 k} \\ ϕ_{22 k} \end{matrix}) \end{matrix}$ に従うとする。

マッチングを行ったケース・コントロール研究に関する
$2 \times 2$ 分割表（第 $k$ 層の統計モデル）
		非発症者 $(\bar{D})$		合計
		曝露あり $(E)$	曝露なし $(\bar{E})$	合計
発症者 $(D)$	曝露あり $(E)$	$ϕ_{11 k}$	$ϕ_{12 k}$	$ϕ_{D E k}$ $(= π_{1 ∙ k})$
発症者 $(D)$	曝露なし $(\bar{E})$	$ϕ_{21 k}$	$ϕ_{22 k}$	$ϕ_{D \bar{E} k}$ $(= π_{0 ∙ k})$
合計		$ϕ_{\bar{D} E k}$ $(= ϕ_{∙ 1 k})$	$ϕ_{\bar{D} \bar{E} k}$ $(= ϕ_{∙ 0 k})$	$1$

四項尤度

$\begin{array}{r} L (ϕ_{k}) = \frac{N_{k}!}{e_{k}! f_{k}! g_{k}! h_{k}!} ϕ_{11}^{e_{k}} ϕ_{12}^{f_{k}} ϕ_{21}^{g_{k}} ϕ_{22}^{h_{k}} \end{array}$

曝露効果の指標

標本比率

$\begin{matrix} {\hat{ϕ}}_{11 k} = \frac{e_{k}}{N_{k}} {\hat{ϕ}}_{12 k} = \frac{f_{k}}{N_{k}} \\ {\hat{ϕ}}_{21 k} = \frac{g_{k}}{N_{k}} {\hat{ϕ}}_{22 k} = \frac{h_{k}}{N_{k}} \end{matrix}$

条件付き周辺曝露オッズ比

$\begin{matrix} {OR}_{z k} = \frac{ϕ_{12 k | z}}{ϕ_{21 k | z}} \end{matrix}$

条件付き曝露オッズ比

$\begin{matrix} {OR}_{C k} = \frac{ϕ_{12 k}}{ϕ_{21 k}} \\ {\hat{OR}}_{C k} = \frac{{\hat{ϕ}}_{12 k}}{{\hat{ϕ}}_{21 k}} = \frac{f_{k}}{g_{k}} \end{matrix}$

母集団平均発症リスク比

$\begin{matrix} {RR}_{A k} = \frac{ϕ_{1 ∙ k}}{ϕ_{∙ 1 k}} = \frac{ϕ_{11 k} + ϕ_{12 k}}{ϕ_{11 k} + ϕ_{21 k}} \\ {\hat{RR}}_{A k} = \frac{{\hat{ϕ}}_{1 ∙ k}}{{\hat{ϕ}}_{∙ 1 k}} = \frac{{\hat{ϕ}}_{11 k} + {\hat{ϕ}}_{12 k}}{{\hat{ϕ}}_{11 k} + {\hat{ϕ}}_{21 k}} = \frac{e_{k} + f_{k}}{e_{k} + g_{k}} = \frac{n_{1 ∙ k}}{n_{∙ 1 k}} \end{matrix}$

参考文献

ジョン・ラチン著, 宮岡悦良監訳, 遠藤輝, 黒沢健, 下川朝有, 寒水孝司訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.242-245

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四項尤度

曝露効果の指標