ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.7 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.7」の自作解答例です。Thomas-Gartの方法にもとづく母比率の信頼区間に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.7.1：オッズ比の期待値

二項分布の期待値の公式より、各群の発症者数 $a,b$ の期待値は、 $$\begin{array}{c}E\left(a\right)=n_1{\pi }_1\\ \text{(1)}& E\left(b\right)=n_2{\pi }_2\end{array}$$ 周辺度数 $n_1,n_2,m_1,m_2$ が固定されているとき、 $$\begin{array}{c}b=m_1-a\end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& E\left(b\right)=m_1-n_1{\pi }_1\end{array}$$ 式 $(1),(2)$ を ${\pi }_2$ について解くと、 $$\begin{array}{c}{n}_2{\pi }_2=m_1-n_1{\pi }_1\\ \text{(3)}& {\pi }_2=\frac{m_1-n_1{\pi }_1}{n_2}\end{array}$$ オッズ比の定義式 $\phi =\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{1-{\pi }_2}{{\pi }_2}$ より、 $$\begin{array}{rl}\tilde{\phi }& =\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{n_2}{m_1-n_1{\pi }_1}\cdot \frac{n_2-(m_1-n_1{\pi }_1)}{n_2}\\ & =\frac{{\pi }_1(n_2-m_1+n_1{\pi }_1)}{(1-{\pi }_1)(m_1-n_1{\pi }_1)}\end{array}$$ $◼$

問題2.7.2：2次方程式の導出

先ほどの式を ${\pi }_1$ について整理すると、 $$\begin{array}{c}\tilde{\phi }(1-{\pi }_1)(m_1-n_1{\pi }_1)={\pi }_1(n_2-m_1+n_1{\pi }_1)\\ \tilde{\phi }{m}_1-\tilde{\phi }{n}_1{\pi }_1-\tilde{\phi }{m}_1{\pi }_1+\tilde{\phi }{n}_1{\pi }_1^2=n_1{\pi }_1^2+n_2{\pi }_1-m_1{\pi }_1\\ n_1{\pi }_1^2-\tilde{\phi }{n}_1{\pi }_1^2+\tilde{\phi }{n}_1{\pi }_1+\tilde{\phi }{m}_1{\pi }_1+n_2{\pi }_1-m_1{\pi }_1+\tilde{\phi }{m}_1=0\\ \left[n_1(1-\tilde{\phi })\right]{\pi }_1^2+[\tilde{\phi }(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]{\pi }_1-\tilde{\phi }{m}_1=0\\ \left[n_1(\tilde{\phi }-1)\right]{\pi }_1^2-[\tilde{\phi }(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]{\pi }_1+\tilde{\phi }{m}_1=0\end{array}$$ $◼$

問題2.7.3：群1の発症確率

2次方程式の解の公式 $a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 $$\begin{array}{r}{\pi }_1=\frac{[\tilde{\phi }(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]\pm \sqrt{{[\tilde{\phi }(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]}^2-4\tilde{\phi }{m}_1\left[n_1(\tilde{\phi }-1)\right]}}{2\left[n_1(\tilde{\phi }-1)\right]}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}C=[\tilde{\phi }(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]-\sqrt{{[\tilde{\phi }(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]}^2-4\tilde{\phi }{m}_1\left[n_1(\tilde{\phi }-1)\right]}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}{\pi }_1=\frac{C}{2\left[n_1(\tilde{\phi }-1)\right]}\end{array}$$ $◼$

問題2.7.4：群2の発症確率

式 $(3)$ を再掲すると、 $$\begin{array}{c}{\pi }_2=\frac{m_1-n_1{\pi }_1}{n_2}\end{array}$$ オッズ比の上下信頼限界をそれぞれ ${\tilde{\phi }}_L,{\tilde{\phi }}_U$ とすると、 $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_{1L}=\frac{[{\tilde{\phi }}_L(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]-\sqrt{{[{\tilde{\phi }}_L(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]}^2-4{\tilde{\phi }}_L{m}_1\left[n_1({\tilde{\phi }}_L-1)\right]}}{2\left[n_1({\tilde{\phi }}_L-1)\right]}\\ {\hat{\pi }}_{2L}=\frac{m_1-n_1{\hat{\pi }}_{1L}}{n_2}\\ {\hat{\pi }}_{1U}=\frac{[{\tilde{\phi }}_U(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]-\sqrt{{[{\tilde{\phi }}_U(n_1+m_1)+(n_2-m_1)]}^2-4{\tilde{\phi }}_U{m}_1\left[n_1({\tilde{\phi }}_U-1)\right]}}{2\left[n_1({\tilde{\phi }}_U-1)\right]}\\ {\hat{\pi }}_{2U}=\frac{m_1-n_1{\hat{\pi }}_{1U}}{n_2}\end{array}$$ これより、
（i）リスク差の正確な上下信頼限界
$$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{RD}}}_L={\hat{\pi }}_{1L}-{\hat{\pi }}_{2L}{\widehat{\mathrm{RD}}}_U={\hat{\pi }}_{1U}-{\hat{\pi }}_{2U}\end{array}$$ （ii）リスク比の正確な上下信頼限界
$$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{RR}}}_L=\frac{{\hat{\pi }}_{1L}}{{\hat{\pi }}_{2L}}{\widehat{\mathrm{RR}}}_U=\frac{{\hat{\pi }}_{1U}}{{\hat{\pi }}_{2U}}\end{array}$$ $◼$

問題2.7.5：例題

得られた公式に各値を代入すると、下側限界は、 $$\begin{array}{cc}{\hat{\pi }}_{1L}& =\frac{[0.0127(19+15)+(10-15)]-\sqrt{{[0.0127(19+15)+(10-15)]}^2-4\cdot 0.0127\cdot 15\left[19(0.0127-1)\right]}}{2\left[19(0.0127-1)\right]}\\ & =0.2798\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}{\hat{\pi }}_{2L}& =\frac{15-19\cdot 0.2798}{10}\\ & =0.9683\end{array}$$

したがって、 $$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{RD}}}_L=0.2798-0.9683=-0.6885\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{RR}}}_L=\frac{0.2798}{0.9683}=0.2890\end{array}$$

同様に、上側限界は、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\pi }}_{1U}& =\frac{[1.0952(19+15)+(10-15)]-\sqrt{{[1.0952(19+15)+(10-15)]}^2-4\cdot 1.0952\cdot 15\left[19(1.0952-1)\right]}}{2\left[19(1.0952-1)\right]}\\ & =0.5251\end{array}$$ $$\begin{array}{cc}{\hat{\pi }}_{2L}& =\frac{15-19\cdot 0.5251}{10}\\ & =0.5024\end{array}$$

したがって、 $$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{RD}}}_L=0.5251-0.5024=0.0227\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{\widehat{\mathrm{RR}}}_L=\frac{0.5251}{0.5024}=1.0452\end{array}$$

まとめると、 $$\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{RD}}:[-0.6885,0.0227]\\ \widehat{\mathrm{RR}}:[0.2890,1.0452]\end{array}$$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.83
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.33-34
• Thomas, D.G. & Gart, J.J.. A Table of Exact Confidence Limits for Differences and Ratios of Two Proportions and Their Odds Ratios. Journal of the American Statistical Association. 1977;72(357):73-76, doi: https://doi.org/10.2307/2286908

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