本稿では、横断研究やコホート研究における有病率・発生割合の信頼区間の導出を行っています。本稿における方法は、母比率の補対数対数変換にもとづく方法で、非対称な信頼区間とはなりますが、上下信頼限界が区間 $ \left[0,1\right]$ に収まる方法です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
- デルタ法を用いる際、剰余項（2次の項）が漸近的に無視できる（$0$に確率収束する）と仮定しています。
【定理】有病率・発生割合の信頼区間（補対数対数変換）
【定理】
有病率・発生割合の信頼区間（補対数対数変換）
Confidence Interval for Prevalence or Incidence Proportion Based on Complementary log-log-Transformation
マッチングなしのコホート研究における有病率・発生割合を補対数対数変換したものを \begin{gather} \theta=\log{ \left(-\log{\pi}\right)} \quad \hat{\theta}=\log{ \left(-\log{\hat{\pi}}\right)} \end{gather} とするとき、 補対数対数変換にもとづく母集団の有病率・発生割合の非対称な $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、漸近的に \begin{gather} 100 \left(1-\alpha\right)\%\ \mathrm{C.I.}= \left[\pi_L,\pi_U\right]\\ \pi_L=\mathrm{exp} \left\{\mathrm{exp} \left(\theta_U\right)\right\}\\ \pi_U=\mathrm{exp} \left\{\mathrm{exp} \left(\theta_L\right)\right\} \end{gather} で与えられる。 ただし、 \begin{gather} \theta_L=\hat{\theta}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \theta_U=\hat{\theta}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha}\\ {\hat{\sigma}}^2=\frac{1-\pi}{n\pi \left(\log{\pi}\right)^2} \quad \hat{\sigma}=\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\theta}\right) \end{gather}
なお、$\theta$ の上側信頼限界 $\theta_U$ から $\pi$ の下側信頼限界 $\pi_L$ が得られ、$\theta$ の下側信頼限界 $\theta_L$ から $\pi$ の上側信頼限界 $\pi_U$ が得られる点に注意する。
導出：母比率の補対数対数変換にもとづく方法
標本補対数対数比率の漸近分布は、 \begin{align} \hat{\theta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{ \left(-\log{\pi}\right)},\frac{1-\pi}{n\pi \left(\log{\pi}\right)^2}\right] \end{align} 標本補対数対数比率の漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_1^2=\frac{1-\hat{\pi}}{n\hat{\pi} \left(\log{\hat{\pi}}\right)^2} \end{align} 標本補対数対数比率の漸近的な標準誤差 $\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\theta}\right)=\hat{\sigma}$ は、 \begin{gather} \hat{\sigma}=\frac{\sqrt{1-\hat{\pi}}}{\sqrt{n\hat{\pi}} \left|\log{\hat{\pi}}\right|} \end{gather} 母集団の対数オッズの $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} \hat{\theta}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \le \log{ \left(-\log{\pi}\right)} \le \hat{\theta}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} ここで、スペースの節約のために以下のようにおいて、 \begin{gather} \theta_L=\hat{\theta}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \theta_U=\hat{\theta}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} 逆変換を行うと、 \begin{gather} \theta_L \le \log{ \left(-\log{\pi}\right)} \le \theta_U\\ \mathrm{exp} \left(\theta_L\right) \le -\log{\pi} \le \mathrm{exp} \left(\theta_U\right)\\ \mathrm{exp} \left(\theta_U\right) \le \log{\pi} \le \mathrm{exp} \left(\theta_L\right)\\ \mathrm{exp} \left\{\mathrm{exp} \left(\theta_U\right)\right\} \le \pi \le \mathrm{exp} \left\{\mathrm{exp} \left(\theta_L\right)\right\} \end{gather}
$\theta$ の上側信頼限界 $\theta_U$ から $\pi$ の下側信頼限界 $\pi_L$ が得られ、$\theta$ の下側信頼限界 $\theta_L$ から $\pi$ の上側信頼限界 $\pi_U$ が得られる点に注意する。 $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.18
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