有病率・発生割合の信頼区間（補対数対数変換）

標本補対数対数比率の漸近分布は、 $$\begin{array}{r}\hat{\theta }\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log (-\log \pi ),\frac{1-\pi }{n\pi {(\log \pi )}^2}]\end{array}$$ 標本補対数対数比率の漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}{\hat{\sigma }}_1^2=\frac{1-\hat{\pi }}{n\hat{\pi }{(\log \hat{\pi })}^2}\end{array}$$ 標本補対数対数比率の漸近的な標準誤差 $\widehat{\mathrm{S}.\mathrm{E}.}\left(\hat{\theta }\right)=\hat{\sigma }$ は、 $$\begin{array}{c}\hat{\sigma }=\frac{\sqrt{1-\hat{\pi }}}{\sqrt{n\hat{\pi }}|\log \hat{\pi }|}\end{array}$$ 母集団の対数オッズの $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}\hat{\theta }-\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\le \log (-\log \pi )\le \hat{\theta }+\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ ここで、スペースの節約のために以下のようにおいて、 $$\begin{array}{c}{\theta }_L=\hat{\theta }-\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }{\theta }_U=\hat{\theta }+\hat{\sigma }\cdot Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ 逆変換を行うと、 $$\begin{array}{c}{\theta }_L\le \log (-\log \pi )\le {\theta }_U\\ \exp \left({\theta }_L\right)\le -\log \pi \le \exp \left({\theta }_U\right)\\ \exp \left({\theta }_U\right)\le \log \pi \le \exp \left({\theta }_L\right)\\ \exp \left\{\exp \left({\theta }_U\right)\right\}\le \pi \le \exp \left\{\exp \left({\theta }_L\right)\right\}\end{array}$$

$\theta$ の上側信頼限界 ${\theta }_U$ から $\pi$ の下側信頼限界 ${\pi }_L$ が得られ、$\theta$ の下側信頼限界 ${\theta }_L$ から $\pi$ の上側信頼限界 ${\pi }_U$ が得られる点に注意する。 $◼$