本稿では、横断研究やコホート研究における有病率・発生割合の信頼区間の導出を行っています。本稿における方法は、Wilson（1927）が提案した母比率の検定の逆変換にもとづく方法です。
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【定理】有病率・発生割合の信頼区間（検定の逆変換）
【定理】
有病率・発生割合の信頼区間（検定の逆変換）
Confidence Interval for Prevalence or Incidence Proportion Based on Roots of a Quadratic Equation
マッチングなしのコホート研究における有病率・発生割合の非対称な $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} 100 \left(1-\alpha\right)\%\ \mathrm{C.I.}= \left[\pi_L,\pi_U\right]\\ \pi_L=\frac{B-\sqrt C}{A} \quad \pi_U=\frac{B+\sqrt C}{A}\\ A=\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{n}+1 \quad B=\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{2n}+\hat{\pi} \quad C=\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{4n} \left[\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{n}+4\hat{\pi} \left(1-\hat{\pi}\right)\right] \end{gather} で与えられる。
導出：2次方程式の解として上下信頼限界を求める方法
二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に、 \begin{align} p\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\pi,\frac{\pi \left(1-\pi\right)}{n}\right] \end{align} 標本比率を標準化すると、 \begin{align} \frac{\sqrt n \left(p-\pi\right)}{\sqrt{\pi \left(1-\pi\right)}}=Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} このとき、母比率 $\pi$ の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{align} -Z_{0.5\alpha} \le \frac{\sqrt n \left(\hat{\pi}-\pi\right)}{\sqrt{\pi \left(1-\pi\right)}} \le Z_{0.5\alpha} \end{align} このとき、この不等式を $\pi$ について解いたときの値が上下の信頼限界となる。
略記のために $Z_{0.5\alpha}=z$ とおいて両辺を2乗すると、 \begin{gather} z^2=\frac{n \left(p-\pi\right)^2}{\pi \left(1-\pi\right)}\\ \pi^2-2p\pi+p^2-\frac{ \left(\pi-\pi^2\right)}{n}z^2=0\\ \left(\frac{z^2}{n}+1\right)\pi^2- \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)\pi+p^2=0 \end{gather} 2次方程式の解の公式 $ax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 \begin{align} \pi&=\frac{ \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)\pm\sqrt{ \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)^2-4 \left(\frac{z^2}{n}+1\right)p^2}}{2 \left(\frac{z^2}{n}+1\right)}\\ &=\frac{ \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)\pm\sqrt{4p^2+4p\frac{z^2}{n}+\frac{z^4}{n^2}-4p^2-4p^2\frac{z^2}{n}}}{2 \left(\frac{z^2}{n}+1\right)}\\ &=\frac{ \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)\pm\sqrt{4p\frac{z^2}{n}+\frac{z^4}{n^2}-4p^2\frac{z^2}{n}}}{2 \left(\frac{z^2}{n}+1\right)}\\ &=\frac{ \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)\pm\sqrt{\frac{z^2}{n} \left(4p+\frac{z^2}{n}-4p^2\right)}}{2 \left(\frac{z^2}{n}+1\right)}\\ &=\frac{ \left(\frac{z^2}{n}+2p\right)\pm\sqrt{\frac{z^2}{n} \left\{\frac{z^2}{n}+4p \left(1-p\right)\right\}}}{2 \left(\frac{z^2}{n}+1\right)}\\ &=\frac{ \left(\frac{z^2}{2n}+p\right)\pm\sqrt{\frac{z^2}{4n} \left\{\frac{z^2}{n}+4p \left(1-p\right)\right\}}}{\frac{z^2}{n}+1} \end{align} したがって、$100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{align} \frac{ \left(\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{2n}+p\right)-\sqrt{\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{4n} \left[\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{n}+4p \left(1-p\right)\right]}}{\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{n}+1} \le \pi \le \frac{ \left(\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{2n}+p\right)+\sqrt{\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{4n} \left[\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{n}+4p \left(1-p\right)\right]}}{\frac{Z_{0.5\alpha}^2}{n}+1} \end{align}
通常、信頼区間を求める場合には、標準誤差 $\frac{\sqrt{\pi \left(1-\pi\right)}}{\sqrt n}$ の母数 $\pi$ をその一致推定量である $\hat{\pi}$ で置き換えるが、この方法の場合は、$\pi$ のまま計算し、$\pi$ に関する2次方程式の解として、上下の信頼限界を直接求める点に特徴がある。 $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.18
- Wilson, E.B.. Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association. 1927, 22(158), p.209-212, doi: 10.1080/01621459.1927.10502953
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