有病率・発生割合の信頼区間（検定の逆変換）

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に、 $$\begin{array}{r}p\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\pi ,\frac{\pi (1-\pi )}{n}]\end{array}$$ 標本比率を標準化すると、 $$\begin{array}{r}\frac{\sqrt{n}(p-\pi )}{\sqrt{\pi (1-\pi )}}=Z\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ このとき、母比率 $\pi$ の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{r}-Z_{0.5\alpha }\le \frac{\sqrt{n}(\hat{\pi }-\pi )}{\sqrt{\pi (1-\pi )}}\le Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ このとき、この不等式を $\pi$ について解いたときの値が上下の信頼限界となる。

略記のために $Z_{0.5\alpha }=z$ とおいて両辺を2乗すると、 $$\begin{array}{c}{z}^2=\frac{n{(p-\pi )}^2}{\pi (1-\pi )}\\ {\pi }^2-2p\pi +p^2-\frac{(\pi -{\pi }^2)}{n}{z}^2=0\\ (\frac{z^2}{n}+1){\pi }^2-(\frac{z^2}{n}+2p)\pi +p^2=0\end{array}$$ 2次方程式の解の公式 $a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 $$\begin{array}{rl}\pi & =\frac{(\frac{z^2}{n}+2p)\pm \sqrt{{(\frac{z^2}{n}+2p)}^2-4(\frac{z^2}{n}+1)p^2}}{2(\frac{z^2}{n}+1)}\\ & =\frac{(\frac{z^2}{n}+2p)\pm \sqrt{4p^2+4p\frac{z^2}{n}+\frac{z^4}{n^2}-4p^2-4p^2\frac{z^2}{n}}}{2(\frac{z^2}{n}+1)}\\ & =\frac{(\frac{z^2}{n}+2p)\pm \sqrt{4p\frac{z^2}{n}+\frac{z^4}{n^2}-4p^2\frac{z^2}{n}}}{2(\frac{z^2}{n}+1)}\\ & =\frac{(\frac{z^2}{n}+2p)\pm \sqrt{\frac{z^2}{n}(4p+\frac{z^2}{n}-4p^2)}}{2(\frac{z^2}{n}+1)}\\ & =\frac{(\frac{z^2}{n}+2p)\pm \sqrt{\frac{z^2}{n}\{\frac{z^2}{n}+4p(1-p)\}}}{2(\frac{z^2}{n}+1)}\\ & =\frac{(\frac{z^2}{2n}+p)\pm \sqrt{\frac{z^2}{4n}\{\frac{z^2}{n}+4p(1-p)\}}}{\frac{z^2}{n}+1}\end{array}$$ したがって、$100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{r}\frac{(\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{2n}+p)-\sqrt{\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{4n}[\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{n}+4p(1-p)]}}{\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{n}+1}\le \pi \le \frac{(\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{2n}+p)+\sqrt{\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{4n}[\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{n}+4p(1-p)]}}{\frac{Z_{0.5\alpha }^2}{n}+1}\end{array}$$

通常、信頼区間を求める場合には、標準誤差 $\frac{\sqrt{\pi (1-\pi )}}{\sqrt{n}}$ の母数 $\pi$ をその一致推定量である $\hat{\pi }$ で置き換えるが、この方法の場合は、$\pi$ のまま計算し、$\pi$ に関する2次方程式の解として、上下の信頼限界を直接求める点に特徴がある。 $◼$