ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.10 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.10」の自作解答例です。集団寄与危険割合オッズに関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.10.1：母集団寄与危険割合のオッズの一致推定量

母集団寄与危険割合の定義式 $\mathrm{PAR}=\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}$ より、 $$\begin{array}{rl}1-\mathrm{PAR}& =1-\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\\ & =\frac{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)-{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\\ & =\frac{1}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}& =\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)\}\\ & ={\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)\end{array}$$ 相対リスクの定義式 $\mathrm{RR}=\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}$ より、 $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}& ={\alpha }_1(\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}-1)\\ & =\frac{{\alpha }_1({\pi }_1-{\pi }_2)}{{\pi }_2}\end{array}$$ したがって、オッズの一致推定量は、${\pi }_i=p_i$ を代入して、 $$\begin{array}{r}\frac{\widehat{\mathrm{PAR}}}{1-\widehat{\mathrm{PAR}}}=\frac{{\alpha }_1(p_1-p_2)}{p_2}\end{array}$$ $◼$

問題2.10.2：標本対数PARオッズの漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に $$\begin{array}{c}{p}_1\sim \mathrm{N}[{\pi }_1,\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}]\\ p_2\sim \mathrm{N}[{\pi }_2,\frac{{\pi }_2(1-{\pi }_2)}{n_2}]\end{array}$$ 標本比率ベクトルを $$\begin{array}{r}\mathit{p}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\end{array}\right)\end{array}$$ 期待値ベクトルを $$\begin{array}{r}\mathit{\pi }=\left(\begin{array}{c}{\pi }_1\\ {\pi }_2\end{array}\right)\end{array}$$ 分散・共分散行列を $$\begin{array}{r}\mathbf{\Omega }=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}& 0\\ 0& \frac{{\pi }_2(1-{\pi }_2)}{n_2}\end{array}\right]\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{c}G\left(\mathit{\pi }\right)=\theta =\frac{{\alpha }_1({\pi }_1-{\pi }_2)}{{\pi }_2}\\ G\left(\mathit{p}\right)=\hat{\theta }=\frac{{\alpha }_1(p_1-p_2)}{p_2}\end{array}$$ と変数変換する。 多変量のデルタ法を用いて $G\left(\mathit{p}\right)$ を期待値 $E\left(\mathit{p}\right)=\mathit{\pi }$ まわりでテイラー展開すると、偏導関数ベクトルは、 $$\begin{array}{r}\mathit{H}\left(\mathit{\pi }\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{G\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial {\pi }_1}\\ \frac{G\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial {\pi }_2}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\pi }_1-{\pi }_2}\\ -\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2({\pi }_1-{\pi }_2)}\end{array}\right]\end{array}$$ 多変量のデルタ法の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left[G\left(\mathit{p}\right)\right]\cong G\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{{\alpha }_1({\pi }_1-{\pi }_2)}{{\pi }_2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[G\left(\mathit{p}\right)\right]& =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{{\pi }_1-{\pi }_2}& -\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2({\pi }_1-{\pi }_2)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}& 0\\ 0& \frac{{\pi }_2(1-{\pi }_2)}{n_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\pi }_1-{\pi }_2}\\ -\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2({\pi }_1-{\pi }_2)}\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\cdot \frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1}+\frac{{\pi }_1^2}{{\pi }_2^2{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\cdot \frac{{\pi }_2(1-{\pi }_2)}{n_2}\\ & =\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_1)}{n_1{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}+\frac{{\pi }_1^2(1-{\pi }_2)}{n_2{\pi }_2{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\\ & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\{\frac{1-{\pi }_1}{n_1}+\frac{{\pi }_1(1-{\pi }_2)}{n_2{\pi }_2}\}\\ & =\frac{{\pi }_1}{{({\pi }_1-{\pi }_2)}^2}\left\{\frac{n_2{\pi }_2(1-{\pi }_1)+n_1{\pi }_1(1-{\pi }_2)}{n_1{n}_2{\pi }_2}\right\}\end{array}$$ 母比率 ${\pi }_i$ を一致推定量である標本比率 $p_i$ で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{V}\left[\hat{\theta }\right]=\frac{p_1}{{(p_1-p_2)}^2}\left\{\frac{n_2{p}_2(1-p_1)+n_1{p}_2(1-p_2)}{n_1{n}_2{p}_2}\right\}\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.84
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.54-56

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