本稿では、人口寄与危険割合の定義式の紹介と人口寄与危険割合オッズの一致推定量の導出を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
【定義】人口寄与危険割合
母集団全体における曝露の割合と非曝露の割合を \begin{align} \alpha_1 \quad \alpha_0=1-\alpha_1 \end{align} 曝露群、非曝露群、全体の発症確率をそれぞれ \begin{gather} \pi_1 \quad \pi_2\\ \pi_{\bullet }=\alpha_1\pi_1+\alpha_0\pi_0 \end{gather} とする 以下のような統計モデルを考えるとき、
| 発症あり $ \left(D\right)$ | 発症なし $(\bar{D})$ | 合計 | |
|---|---|---|---|
| 曝露群 $ \left(E\right)$ | $\alpha_1\pi_1$ | $\alpha_1 \left(1-\pi_1\right)$ | $\alpha_1$ |
| 非曝露群 $(\bar{E})$ | $\alpha_0\pi_0$ | $\alpha_0 \left(1-\pi_0\right)$ | $\alpha_0$ |
| 合計 | $\pi_{\bullet }$ | $1-\pi_{\bullet }$ | $1$ |
人口寄与危険割合は、 \begin{align} \mathrm{\mathrm{PAR}}&=\frac{\pi_{\bullet }-\pi_0}{\pi_{\bullet }}\\ &=\frac{\alpha_1 \left(\mathrm{\mathrm{RR}}-1\right)}{1+\alpha_1 \left(\mathrm{\mathrm{RR}}-1\right)}\\ &=\frac{\alpha_1 \left(\mathrm{\mathrm{RR}}-1\right)}{\alpha_1\mathrm{\mathrm{RR}+} \alpha_0}\\ &=\frac{n_1\pi_1-n_1\pi_0}{\pi_{\bullet }N} \end{align} 一致推定量は、 \begin{gather} {\hat{\alpha}}_1=\frac{n_1}{N} \quad {\hat{\pi}}_1=\frac{a}{n_1} \quad {\hat{\pi}}_0=\frac{b}{n_0} \quad \pi_{\bullet }=\frac{m_1}{N}\\ \mathrm{\widehat{RR}}=\frac{{\hat{\pi}}_1}{{\hat{\pi}}_0} \end{gather} として、 \begin{align} \mathrm{\widehat{PAR}}=\frac{{\hat{\alpha}}_1 \left(\mathrm{\widehat{RR}}-1\right)}{1+{\hat{\alpha}}_1 \left(\mathrm{\widehat{RR}}-1\right)}=\frac{a-n_1{\hat{\pi}}_0}{m_1} \end{align} で定義される。
【公式】人口寄与危険割合のオッズの一致推定量
【公式】
人口寄与危険割合のオッズの一致推定量
Consistent Estimator of Population Attributable Risk Fraction Odds
$\alpha_1$ が固定されたもとで、人口寄与危険割合のオッズの一致推定量は、 \begin{align} \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}=\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right) \end{align} と表すことができ、 一致推定量は、 \begin{align} \frac{\mathrm{\widehat{PAR}}}{1-\mathrm{\widehat{PAR}}}=\frac{\alpha_1 \left({\hat{\pi}}_1-{\hat{\pi}}_0\right)}{{\hat{\pi}}_0} \end{align} で与えられる。
導出
人口寄与危険割合の定義式 $\mathrm{PAR}=\frac{\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}$ より、 \begin{align} 1-\mathrm{PAR}&=1-\frac{\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}\\ &=\frac{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)-\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}\\ &=\frac{1}{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)} \end{align} したがって、 \begin{align} \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}&=\frac{\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)}{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)} \left\{1+\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right)\right\}\\ &=\alpha_1 \left(\mathrm{RR}-1\right) \end{align} 発症リスク比の定義式 $\mathrm{RR}=\frac{\pi_1}{\pi_0}$ より、 \begin{align} \frac{\mathrm{PAR}}{1-\mathrm{PAR}}&=\alpha_1 \left(\frac{\pi_1}{\pi_0}-1\right)\\ &=\frac{\alpha_1 \left(\pi_1-\pi_0\right)}{\pi_0} \end{align} したがって、オッズの一致推定量は、$\pi_i={\hat{\pi}}_i$ を代入して、 \begin{align} \frac{\mathrm{\widehat{PAR}}}{1-\mathrm{\widehat{PAR}}}=\frac{\alpha_1 \left({\hat{\pi}}_1-{\hat{\pi}}_0\right)}{{\hat{\pi}}_0} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.54-56
- Levin, M.L.. The occurrence of lung cancer in man. Acta Unio Int Contra Cancrum. 1953, 9(3), p.531-541.
- Miettinen, O.S.. Proportion of disease caused or prevented by a given exposure, trait or intervention. Am J Epidemiol. 1974, 99(5), p.325-332, doi: 10.1093/oxfordjournals.aje.a121617
- Walter, S.D.. The Distribution of Levin's Measure of Attributable Risk. Biometrika. 1975, 62(2), p.371-374, doi: 10.2307/2335374
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