標本対数平均発生率比の漸近分布

それぞれの標本平均発生率を以下のようにおくと、 \begin{align} {\hat{\lambda}}_1=\frac{d_1}{T_1} \quad {\hat{\lambda}}_0=\frac{d_0}{T_0} \end{align} ポアソン分布の正規近似により、漸近的に \begin{align} {\hat{\lambda}}_i \sim \mathrm{N} \left(\lambda_i,\frac{\lambda_i}{T_i}\right) \end{align} ここで、 \begin{gather} g \left(\lambda_i\right)=\log{\lambda_i}\\ g \left({\hat{\lambda}}_i\right)=\log{{\hat{\lambda}}_i} \end{gather} と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g \left({\hat{\lambda}}_i\right)$ を期待値 $E \left({\hat{\lambda}}_i\right)=\lambda_i$ まわりでテイラー展開すると、$g \left({\hat{\lambda}}_i\right)$ の1階微分は、 \begin{align} g^\prime \left({\hat{\lambda}}_i\right)&=\frac{1}{{\hat{\lambda}}_i} \end{align} よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g \left({\hat{\lambda}}_i\right)\right\}&\cong E \left[g \left(\lambda_i\right)\right]\\ &=\log{\lambda_i}\\ \end{align} \begin{align} V \left[g \left({\hat{\lambda}}_i\right)\right]&\cong \left\{g^\prime \left(\pi_i\right)\right\}^2V \left({\hat{\lambda}}_i\right)\\ &=\frac{1}{\lambda_i^2} \cdot \frac{\lambda_i}{T_i}\\ &=\frac{1}{\lambda_iT_i} \end{align} スラツキーの定理より、 \begin{align} \log{{\hat{\lambda}}_i}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{\lambda_i},\frac{1}{\lambda_iT_i}\right] \end{align}

母集団の対数平均発生率比と標本対数平均発生率比をそれぞれ \begin{gather} \delta=\log{\mathrm{IRR}}=\log{\frac{\lambda_1}{\lambda_0}}\\ \hat{\delta}=\log{\mathrm{\widehat{IRR}}}=\log{\frac{{\hat{\lambda}}_1}{{\hat{\lambda}}_0}} \end{gather} とおくと、 正規分布の再生性より、 \begin{gather} \hat{\delta} \sim \mathrm{N} \left(\log{\frac{\lambda_1}{\lambda_0}},\frac{1}{\lambda_1T_1}+\frac{1}{\lambda_0T_0}\right) \end{gather} 母集団の平均発生率を一致推定量である標本平均発生率で置き換えると、漸近分散の一致推定量は、 \begin{align} {\hat{\sigma}}_1^2&=\frac{1}{{\hat{\lambda}}_1T_1}+\frac{1}{{\hat{\lambda}}_0T_0}\\ &=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_0} \end{align} $\blacksquare$