ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.1 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.1」の自作解答例です。補対数対数変換にもとづく母比率の信頼区間に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.1.1：補対数対数変換後の漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に、 $$\begin{array}{r}p\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\pi ,\frac{\pi (1-\pi )}{n}]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}\theta =g\left(\pi \right)=\log (-\log \pi )\\ \hat{\theta }=g\left(p\right)=\log (-\log p)\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g\left(p\right)$ を期待値 $E\left(p\right)=\pi$ まわりでテイラー展開すると、$g\left(p\right)$ の1階微分は、 $$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }\left(p\right)& =-\frac{1}{\log p}\cdot \frac{d}{dp}(\log p)\\ & =-\frac{1}{p\log p}\end{array}$$ よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{g\left(p\right)\right\}& \cong E\left[g\left(\pi \right)\right]\\ & =\log (-\log \pi )\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[g\left(p\right)\right]& \cong {\left\{g^{\prime }\left(\pi \right)\right\}}^{2}V\left(p\right)\\ & =\frac{1}{{(\pi \log \pi )}^2}\cdot \frac{\pi (1-\pi )}{n}\\ & =\frac{1-\pi }{n\pi {(\log \pi )}^2}\end{array}$$ したがって、スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}\log (-\log p)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[\log (-\log \pi ),\frac{1-\pi }{n\pi {(\log \pi )}^2}]\end{array}$$ $◼$

問題2.1.2：補対数対数変換にもとづく信頼区間

母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{V}[\log (-\log p)]\cong \frac{1-p}{np{(\log p)}^2}\\ \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)=\frac{\sqrt{1-p}}{\sqrt{np}|\log p|}\end{array}$$ これを用いて $g\left(p\right)$ を標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{\hat{\theta }-\theta }{\mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)}=Z\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 標準正規分布の $100\alpha \mathrm{\%}$ 点を $Z_{\alpha }$ とすると、$\theta =g\left(\pi \right)$ の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}\log (-\log p)-Z_{0.5\alpha }\cdot \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)\le \log (-\log \pi )\le \log (-\log p)+Z_{0.5\alpha }\cdot \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)\end{array}$$ ここで、スペースの節約のために以下のようにおいて、 $$\begin{array}{c}{\hat{\theta }}_L=\log (-\log p)-Z_{0.5\alpha }\cdot \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)\\ {\hat{\theta }}_U=\log (-\log p)+Z_{0.5\alpha }\cdot \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)\end{array}$$ 逆変換を行うと、 $$\begin{array}{c}{\hat{\theta }}_L\le \log (-\log \pi )\le {\hat{\theta }}_U\\ \exp \left({\hat{\theta }}_L\right)\le -\log \pi \le \exp \left({\hat{\theta }}_U\right)\\ -\exp \left({\hat{\theta }}_U\right)\le \log \pi \le -\exp \left({\hat{\theta }}_L\right)\\ \exp \{-\exp \left({\hat{\theta }}_U\right)\}\le \pi \le \exp \{-\exp \left({\hat{\theta }}_L\right)\}\end{array}$$ $◼$

問題2.1.3：例題

サンプルサイズとイベント数が問題文で与えられた条件のとき、 $$\begin{array}{c}p=\frac{2}{46}=0.04\end{array}$$ 補対数対数変換した値は、 $$\begin{array}{c}\hat{\theta }=\log (-\log 0.04)=1.1428\end{array}$$ 分散と標準誤差は、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\theta }\right)& =\frac{1-0.04}{2{(\log 0.04)}^2}\\ & =\frac{0.957}{2{(-3.135)}^2}\\ & =0.04865\\ \mathrm{S}.\mathrm{E}.\left(\hat{\theta }\right)& =\sqrt{0.04865}\\ & =0.22056\end{array}$$ $\theta$ に対する信頼限界は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\theta }}_L=1.1428-1.96\cdot 0.22056=0.7105\\ {\hat{\theta }}_U=1.1428+1.96\cdot 0.22056=1.5751\end{array}$$ $\pi$ に対する信頼区間は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_L=\exp \{-\exp \left(1.575\right)\}=0.00798\\ {\hat{\pi }}_U=\exp \{-\exp \left(0.711\right)\}=0.13068\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p19, p.79-80

関連記事

• 統計的推定