ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.1 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.1」の自作解答例です。補対数対数変換にもとづく母比率の信頼区間に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.1.1：補対数対数変換後の漸近分布

二項分布の正規近似により、標本比率は漸近的に、 \begin{align} p\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\pi,\frac{\pi \left(1-\pi\right)}{n}\right] \end{align} ここで、 \begin{gather} \theta=g \left(\pi\right)=\log{ \left(-\log{\pi}\right)}\\ \hat{\theta}=g \left(p\right)=\log{ \left(-\log{p}\right)} \end{gather} と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g \left(p\right)$ を期待値 $E \left(p\right)=\pi$ まわりでテイラー展開すると、$g \left(p\right)$ の1階微分は、 \begin{align} g^\prime \left(p\right)&=-\frac{1}{\log{p}} \cdot \frac{d}{dp} \left(\log{p}\right)\\ &=-\frac{1}{p\log{p}} \end{align} よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g \left(p\right)\right\}&\cong E \left[g \left(\pi\right)\right]\\ &=\log{ \left(-\log{\pi}\right)}\\ \end{align} \begin{align} V \left[g \left(p\right)\right]&\cong \left\{g^\prime \left(\pi\right)\right\}^2V \left(p\right)\\ &=\frac{1}{ \left(\pi\log{\pi}\right)^2} \cdot \frac{\pi \left(1-\pi\right)}{n}\\ &=\frac{1-\pi}{n\pi \left(\log{\pi}\right)^2} \end{align} したがって、スラツキーの定理より、 \begin{align} \log{ \left(-\log{p}\right)}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{ \left(-\log{\pi}\right)},\frac{1-\pi}{n\pi \left(\log{\pi}\right)^2}\right] \end{align} $\blacksquare$

問題2.1.2：補対数対数変換にもとづく信頼区間

母比率を一致推定量である標本比率で置き換えると、分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left[\log{ \left(-\log{p}\right)}\right]\cong\frac{1-p}{np \left(\log{p}\right)^2}\\ \mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right)=\frac{\sqrt{1-p}}{\sqrt{np} \left|\log{p}\right|} \end{align} これを用いて $g \left(p\right)$ を標準化した値は、 \begin{align} \frac{\hat{\theta}-\theta}{\mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right)}=Z\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} 標準正規分布の $100\alpha\%$ 点を $Z_\alpha$ とすると、$\theta=g \left(\pi\right)$ の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} \log{ \left(-\log{p}\right)}-Z_{0.5\alpha} \cdot \mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right) \le \log{ \left(-\log{\pi}\right)} \le \log{ \left(-\log{p}\right)}+Z_{0.5\alpha} \cdot \mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right) \end{gather} ここで、スペースの節約のために以下のようにおいて、 \begin{gather} {\hat{\theta}}_L=\log{ \left(-\log{p}\right)}-Z_{0.5\alpha} \cdot \mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right)\\ {\hat{\theta}}_U=\log{ \left(-\log{p}\right)}+Z_{0.5\alpha} \cdot \mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right) \end{gather} 逆変換を行うと、 \begin{gather} {\hat{\theta}}_L \le \log{ \left(-\log{\pi}\right)} \le {\hat{\theta}}_U\\ \mathrm{exp} \left({\hat{\theta}}_L\right) \le -\log{\pi} \le \mathrm{exp} \left({\hat{\theta}}_U\right)\\ -\mathrm{exp} \left({\hat{\theta}}_U\right) \le \log{\pi} \le -\mathrm{exp} \left({\hat{\theta}}_L\right)\\ \mathrm{exp} \left\{-\mathrm{exp} \left({\hat{\theta}}_U\right)\right\} \le \pi \le \mathrm{exp} \left\{-\mathrm{exp} \left({\hat{\theta}}_L\right)\right\} \end{gather} $\blacksquare$

問題2.1.3：例題

サンプルサイズとイベント数が問題文で与えられた条件のとき、 \begin{gather} p=\frac{2}{46}=0.04 \end{gather} 補対数対数変換した値は、 \begin{gather} \hat{\theta}=\log{ \left(-\log{0.04}\right)}=1.1428 \end{gather} 分散と標準誤差は、 \begin{align} V \left(\hat{\theta}\right)&=\frac{1-0.04}{2 \left(\log{0.04}\right)^2}\\ &=\frac{0.957}{2 \left(-3.135\right)^2}\\ &=0.04865\\ \mathrm{S.E.} \left(\hat{\theta}\right)&=\sqrt{0.04865}\\ &=0.22056 \end{align} $\theta$ に対する信頼限界は、 \begin{gather} {\hat{\theta}}_L=1.1428-1.96 \cdot 0.22056=0.7105\\ {\hat{\theta}}_U=1.1428+1.96 \cdot 0.22056=1.5751 \end{gather} $\pi$ に対する信頼区間は、 \begin{gather} {\hat{\pi}}_L=\mathrm{exp} \left\{-\mathrm{exp} \left(1.575\right)\right\}=0.00798\\ {\hat{\pi}}_U=\mathrm{exp} \left\{-\mathrm{exp} \left(0.711\right)\right\}=0.13068 \end{gather} $\blacksquare$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p19, p.79-80

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