ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題3.1 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題3.1」の自作解答例です。問題3.1 床的有意差・有意水準・検出力の関係式に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題3.1：有意水準・検出力・臨床的に有意な差の関係

〔I〕右側検定仮説 $$\begin{array}{c}{H}_0:\mu ={\mu }_0\mathrm{vs}{H}_1:\mu ={\mu }_1(>{\mu }_0)\end{array}$$ について、 〔1〕帰無仮説での有意水準と棄却域
仮定より、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{c}T\sim \mathrm{N}({\mu }_0,{\sigma }_0^2)\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{T-{\mu }_0}{{\sigma }_0}=Z_0\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 $$\begin{array}{c}{Z}_{\alpha }\le \frac{T-{\mu }_0}{{\sigma }_0}\\ {\mu }_0+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\le T\end{array}$$ 〔2〕対立仮説での棄却域と検出力
同様に、対立仮説のもとで、 $$\begin{array}{c}T\sim \mathrm{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{T-{\mu }_1}{{\sigma }_1}=Z_1\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 検出力の定義（対立仮説が正しいときに、帰無仮説を棄却する事象が起こる）より、 $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P({\mu }_0+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\le T|H_1)\\ & =P({\mu }_0-{\mu }_1+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\le T-{\mu }_1|H_1)\\ & =P\{\frac{({\mu }_0-{\mu }_1)+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}\le \frac{T-{\mu }_1}{{\sigma }_1}|H_1\}\\ & =P\{\frac{({\mu }_0-{\mu }_1)+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}\le Z_1|H_1\}\\ & =P(Z_{1-\beta }\le Z_1)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{Z}_{1-\beta }=\frac{({\mu }_0-{\mu }_1)+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}\end{array}$$ 臨床的に有意な差を $\mathrm{\Delta }={\mu }_1-{\mu }_0>0$ とすると、 $$\begin{array}{c}{Z}_{1-\beta }=\frac{-\mathrm{\Delta }+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}\\ Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1=-\mathrm{\Delta }+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\\ \mathrm{\Delta }=Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ 〔II〕左側検定仮説 $$\begin{array}{c}{H}_0:\mu ={\mu }_0\mathrm{vs}{H}_1:\mu ={\mu }_1(<{\mu }_0)\end{array}$$ について、 同様に、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 $$\begin{array}{c}\frac{T-{\mu }_0}{{\sigma }_0}\le -Z_{\alpha }\\ T\le {\mu }_0-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\end{array}$$ 検出力の定義より、 $$\begin{array}{rl}\beta & =P(T\le {\mu }_0-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0|H_1)\\ & =P(T-{\mu }_1\le {\mu }_0-{\mu }_1-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0|H_1)\\ & =P\{\frac{T-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\le \frac{({\mu }_0-{\mu }_1)-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}|H_1\}\\ & =P\{Z_1\le \frac{({\mu }_0-{\mu }_1)-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}|H_1\}\\ & =P(Z_1\le Z_{\beta })\end{array}$$ したがって、臨床的に有意な差を $\mathrm{\Delta }={\mu }_1-{\mu }_0<0$ とすると、 $$\begin{array}{c}{Z}_{\beta }=\frac{({\mu }_0-{\mu }_1)-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}\\ Z_{\beta }\cdot {\sigma }_1=-\mathrm{\Delta }-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\\ \mathrm{\Delta }=-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ 標準正規分布の対称性 $Z_{\beta }=-Z_{1-\beta }$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }& =-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0+Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\\ & =-(Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1)\end{array}$$ 〔I〕〔II〕の結果をまとめると、 $$\begin{array}{r}\left|\mathrm{\Delta }\right|=Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.122
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.91-94

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