ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.3 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.3」の自作解答例です。イベントが観測されなかったときの母比率の信頼区間に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.3.1：信頼区間の導出

確率変数 $X$ が二項分布 $\mathrm{B}(n,\pi )$ に従うとき、成功のイベントが観測されない確率は、 $$\begin{array}{r}P(X=0)={(1-\pi )}^n\end{array}$$ $(0,{\hat{\pi }}_U)$ の形式の信頼係数 $1-\alpha$ の片側信頼区間を構築するとき、上側信頼限界は $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{B}(n,{\hat{\pi }}_U)\end{array}$$ のとき、 成功のイベントが観測されない確率が $\alpha$ となるような値と考えることができるので、 $$\begin{array}{c}P(X=0|\pi ={\hat{\pi }}_U)={(1-{\hat{\pi }}_U)}^n=\alpha \\ 1-{\hat{\pi }}_U={\alpha }^{\frac{1}{n}}\\ {\hat{\pi }}_U=1-{\alpha }^{\frac{1}{n}}\end{array}$$ $◼$

問題2.3.2：サンプルサイズの公式の導出

上側信頼限界の算出式において、両辺の自然対数を取ると、 $$\begin{array}{c}n\log (1-{\pi }_U)=\log \alpha \\ n=\frac{\log \alpha }{\log (1-{\pi }_U)}\end{array}$$ $◼$

問題2.3.3：薬剤の安全性に関する考察

仮に本問の薬剤が十万人に投与されるとすると、年間では、最大、$100000\times 0.00507=507$ 人が死亡する可能性がある。これは、薬害としてはかなり大きな被害であると考えられるので、より標本サイズを大きくして安全性を検証すべきである。 $◼$

問題2.3.4：上側信頼限界の定義・意味

上側80%信頼限界とは、80%信頼区間を構成する値の上限値のことである。この例のように、未知の母数 $\pi$ の推定値 $\hat{\pi }$ を $n$ 個の標本から算出するという行為を何度も繰り返し、その推定値の80%が区間 $[{\pi }_L,{\pi }_U]$ に含まれているとき、${\pi }_L,{\pi }_U$ をそれぞれ下側80%信頼限界、上側80%信頼限界という。 $◼$

問題2.3.5：サンプルサイズ設計の例題

サンプルサイズ設計の公式に、$\alpha =0.05,{\pi }_U=1.0\times {10}^{-4}$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}N=\frac{\log 0.05}{\log (1-1.0\times {10}^{-4})}=29955.82\cong 29956\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.19-20, p.80
• Louis, T.A.. Confidence Intervals for a Binomial Parameter after Observing No Successes. The American Statistician. 1981;35(3):154-154, doi: 10.1080/00031305.1981.10479337

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