ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』 問題2.8 解答例

本稿は、ジョン・ラチン（2020）『医薬データのための統計解析』の「問題2.8」の自作解答例です。独立性の検定とコクラン検定の同等性に関する問題です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

問題2.8.1：検定統計量の同等性① 独立性の検定とコクラン検定

（i）コクラン検定の検定統計量
検定統計量を計算すると、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_C^2& =\frac{{(a{n}_2-b{n}_1)}^2}{N^2}\cdot \frac{N^3}{n_1{n}_2{m}_1{m}_2}\\ & =\frac{N{(a{n}_2-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_2{m}_1{m}_2}\end{array}$$ （ii）独立性の検定の検定統計量
検定統計量を計算すると、 $$\begin{array}{r}{\chi }_P^2=\frac{{[a-\hat{E}\left(a\right)]}^2}{\hat{E}\left(a\right)}+\frac{{[b-\hat{E}\left(b\right)]}^2}{\hat{E}\left(b\right)}+\frac{{[c-\hat{E}\left(c\right)]}^2}{\hat{E}\left(c\right)}+\frac{{[d-\hat{E}\left(d\right)]}^2}{\hat{E}\left(d\right)}\end{array}$$ 各セルの期待値 $\hat{E}\left(x_{ij}\right)=\frac{n_{i\bullet }{n}_{\bullet j}}{N}$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}a-\hat{E}\left(a\right)& =a-\frac{(a+c)(a+b)}{N}\\ & =\frac{a(a+b+c+d)-(a+c)(a+b)}{N}\\ \text{(2)}& & =\frac{ad-bc}{N}b-\hat{E}\left(b\right)& =b-\frac{(a+b)(b+d)}{N}\\ & =\frac{b(a+b+c+d)-(a+b)(b+d)}{N}\\ \text{(3)}& & =-\frac{ad-bc}{N}c-\hat{E}\left(c\right)& =c-\frac{(a+c)(c+d)}{N}\\ & =\frac{c(a+b+c+d)-(a+c)(c+d)}{N}\\ \text{(4)}& & =-\frac{ad-bc}{N}d-\hat{E}\left(d\right)& =d-\frac{(b+d)(c+d)}{N}\\ & =\frac{d(a+b+c+d)-(b+d)(c+d)}{N}\\ \text{(5)}& & =\frac{ad-bc}{N}\end{array}$$ 式 $(2)～(5)$ を式 $(1)$ に代入すると、 $$\begin{array}{rl}{\chi }_0^2& ={\left(\frac{ad-bc}{N}\right)}^2\{\frac{N}{(a+c)(a+b)}+\frac{N}{(a+b)(b+d)}+\frac{N}{(a+c)(c+d)}+\frac{N}{(b+d)(c+d)}\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\left\{\frac{(b+d)(c+d)+(a+c)(c+d)+(a+b)(b+d)+(a+b)(a+c)}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}\right\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\left\{\frac{(a+c)(a+b+c+d)+(b+d)(a+b+c+d)}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}\right\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\left\{\frac{(a+b+c+d)(a+b+c+d)}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}\right\}\\ & =\frac{{(ad-bc)}^2}{N}\cdot \frac{N^2}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}\\ & =\frac{N{(ad-bc)}^2}{n_1{n}_2{m}_1{m}_2}\end{array}$$ ここで、$c=n_1-a,d=n_2-b$ なので、 $$\begin{array}{rl}{[a(n_2-b)-b(n_1-a)]}^2& ={(a{n}_2-ab-b{n}_1+ab)}^2\\ & ={(a{n}_2-b{n}_1)}^2\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{\chi }_P^2=\frac{N{(a{n}_2-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_2{m}_1{m}_2}\end{array}$$ ゆえに、 $$\begin{array}{r}{\chi }_C^2={\chi }_P^2\end{array}$$ $◼$

問題2.8.2：検定統計量の同等性② コクラン検定と母比率の差の検定

帰無仮説における共通の母比率 $\pi$ の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{a+b}{n_1+n_2}=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ このとき、母比率の差に関する検定の検定統計量は、 $$\begin{array}{rl}Z& =\frac{\sqrt{n_1{n}_2}(p_1-p_2)}{\sqrt{N\hat{\pi }(1-\hat{\pi })}}\\ \iff Z^2& =\frac{n_1{n}_2{(p_1-p_2)}^2}{Np(1-p)}\end{array}$$ ここで、$p_1=\frac{a}{n_1},p_2=\frac{b}{n_2},p=\frac{m_1}{N}$ より、 $$\begin{array}{rl}{n}_1{n}_2{(p_1-p_2)}^2& =n_1{n}_2{(\frac{a}{n_1}-\frac{b}{n_2})}^2\\ & =n_1{n}_2{\left(\frac{a{n}_2-b{n}_1}{n_1{n}_2}\right)}^2\\ & =\frac{{(a{n}_2-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_2}\\ Np(1-p)& =N\cdot \frac{m_1}{N}\cdot \frac{m_2}{N}\\ & =\frac{m_1{m}_2}{N}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{Z}^2=\frac{{(a{n}_2-b{n}_1)}^2}{n_1{n}_2}\cdot \frac{N}{m_1{m}_2}={\chi }_P^2\end{array}$$ $◼$

参考文献

• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.84

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