発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性

全体の有病割合 $\delta$ を用いて得られた分割表を書き直すと、以下のようになる。

モデル上の数値から、曝露群の発症確率を表すと、「曝露された人のうち、ケース群（発症者）が占める割合」なので、
ベイズの定理 $P\left(A\right|B)=\frac{P\left(A\right|B)\cdot P\left(B\right)}{P\left(A\right|B)\cdot P\left(B\right)+P\left(A\right|\overline{B})\cdot P\left(\overline{B}\right)}$ より、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_1& =P\left(D\right|E)\\ & =\frac{P(D\cap E)}{P\left(E\right)}\\ & =\frac{P\left(E\right|D)\cdot P\left(D\right)}{P\left(E\right|D)\cdot P\left(D\right)+P\left(E\right|\overline{D})\cdot P\left(\overline{D}\right)}\\ & =\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0}\\ 1-{\pi }_1& =\frac{(1-\delta ){\varphi }_0}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0}\end{array}$$ 同様に、非曝露群の発症確率を表すと、「曝露されていない人のうち、ケース群（発症者）が占める割合」なので、 $$\begin{array}{rl}{\pi }_0& =P\left(D\right|\overline{E})\\ & =\frac{P(D\cap \overline{E})}{P\left(\overline{E}\right)}\\ & =\frac{P\left(\overline{E}\right|D)\cdot P\left(D\right)}{P\left(\overline{E}\right|D)\cdot P\left(D\right)+P\left(\overline{E}\right|\overline{D})\cdot P\left(\overline{D}\right)}\\ & =\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}\\ 1-{\pi }_0& =\frac{(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}\end{array}$$ 前向き発症オッズ比の定義式 ${\mathrm{OR}}_{\mathrm{Pro}}=\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{1-{\pi }_0}{{\pi }_0}$ より、 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{OR}}_{\mathrm{Pro}}& =\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0}\cdot \frac{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0}{(1-\delta ){\varphi }_0}\cdot \frac{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}{\delta (1-{\varphi }_1)}\cdot \frac{(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}\\ & =\frac{{\varphi }_1}{1-{\varphi }_1}\cdot \frac{1-{\varphi }_0}{{\varphi }_0}\\ & ={\mathrm{OR}}_{\mathrm{Retro}}\end{array}$$ $◼$

前向き発症確率が等しい $H_0:{\pi }_1={\pi }_0$ とき、 $$\begin{array}{c}\frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0}=\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}\\ \frac{\delta {\varphi }_1}{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0}-\frac{\delta (1-{\varphi }_1)}{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)}=0\\ \frac{\delta {\varphi }_1\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)\}-\delta (1-{\varphi }_1)\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0\}}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)\}}=0\\ \frac{\delta {\varphi }_1(\delta -\delta {\varphi }_1+1-{\varphi }_2-\delta +\delta {\varphi }_0)-(\delta -\delta {\varphi }_1)(\delta {\varphi }_1+{\varphi }_0-\delta {\varphi }_0)}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)\}}=0\\ \frac{(-{\delta }^2{\varphi }_1^2+\delta {\varphi }_1-\delta {\varphi }_1{\varphi }_0+{\delta }^2{\varphi }_1{\varphi }_0)-({\delta }^2{\varphi }_1+\delta {\varphi }_0-{\delta }^2{\varphi }_0-{\delta }^2{\varphi }_1^2-\delta {\varphi }_1{\varphi }_0+{\delta }^2{\varphi }_1{\varphi }_0)}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)\}}=0\\ \frac{\delta {\varphi }_1-{\delta }^2{\varphi }_1-\delta {\varphi }_0+{\delta }^2{\varphi }_0}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)\}}=0\\ \frac{\delta (1-\delta )({\varphi }_1-{\varphi }_0)}{\{\delta {\varphi }_1+(1-\delta ){\varphi }_0\}\{\delta (1-{\varphi }_1)+(1-\delta )(1-{\varphi }_0)\}}=0\end{array}$$ これが恒等式となるための $\delta =0,\delta =1$ 以外の条件は、 $$\begin{array}{r}{\varphi }_1={\varphi }_0\end{array}$$ これは、後ろ向き曝露確率が等しいという帰無仮説を示している。

同様に、前向き発症確率が等しくない $H_1:{\pi }_1\ne {\pi }_0$ とき、後ろ向き曝露確率が等しくないという $H_1:{\varphi }_1\ne {\varphi }_0$ 結果が得られる。 $◼$