本稿は、発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性、前向き仮説と後ろ向き仮説の同等性を証明しています。これらの関係は、ケース・コントロール研究の妥当性を保証する関係としてとても重要です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
【定理】発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性
【定理】
発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性
Prospective Odds Ratio is Equal to Retrospective Odds Ratio
マッチングなしのケース・コントロール研究で得られたデータをマッチングなしのコホート研究で得られたものであると仮定し、曝露群と非曝露群の発症確率をそれぞれ \begin{align} \pi_1=P \left(D\middle| E\right) \quad \pi_0=P \left(D\middle|\bar{E}\right) \end{align} 全体の有病割合を \begin{align} \delta=P \left(D\right) \end{align} とすると、 有病割合の値に関係なく、前向きの発症オッズ比と後ろ向きの曝露オッズ比は等しい、すなわち \begin{gather} \mathrm{{\rm OR}_{Pro}}=\mathrm{{\rm OR}_{Retro}} \end{gather} が成り立つ。
証明：発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性
全体の有病割合 $\delta$ を用いて得られた分割表を書き直すと、以下のようになる。
|
曝露あり $ \left(E\right)$ |
曝露なし $(\bar{E})$ | 合計 | |
|---|---|---|---|
|
ケース群 $ \left(D\right)$ | $\delta\phi_1$ | $\delta \left(1-\phi_1\right)$ | $\delta$ |
|
コントロール群 $(\bar{D})$ | $ \left(1-\delta\right)\phi_0$ | $ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)$ | $1-\delta$ |
| 合計 |
$\delta\phi_1$ $+$ $ \left(1-\delta\right)\phi_0$ |
$\delta \left(1-\phi_1\right)$ $+$ $ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)$ | $1$ |
モデル上の数値から、曝露群の発症確率を表すと、「曝露された人のうち、ケース群（発症者）が占める割合」なので、
ベイズの定理 $P \left(A\middle| B\right)=\frac{P \left(A\middle| B\right) \cdot P \left(B\right)}{P \left(A\middle| B\right) \cdot P \left(B\right)+P \left(A\middle|\bar{B}\right) \cdot P \left(\bar{B}\right)}$ より、
\begin{align}
\pi_1&=P \left(D\middle| E\right)\\
&=\frac{P \left(D\cap E\right)}{P \left(E\right)}\\
&=\frac{P \left(E\middle| D\right) \cdot P \left(D\right)}{P \left(E\middle| D\right) \cdot P \left(D\right)+P \left(E\middle|\bar{D}\right) \cdot P \left(\bar{D}\right)}\\
&=\frac{\delta\phi_1}{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0}\\
1-\pi_1&=\frac{ \left(1-\delta\right)\phi_0}{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0}
\end{align}
同様に、非曝露群の発症確率を表すと、「曝露されていない人のうち、ケース群（発症者）が占める割合」なので、
\begin{align}
\pi_0&=P \left(D\middle|\bar{E}\right)\\
&=\frac{P \left(D\cap\bar{E}\right)}{P \left(\bar{E}\right)}\\
&=\frac{P \left(\bar{E}\middle| D\right) \cdot P \left(D\right)}{P \left(\bar{E}\middle| D\right) \cdot P \left(D\right)+P \left(\bar{E}\middle|\bar{D}\right) \cdot P \left(\bar{D}\right)}\\
&=\frac{\delta \left(1-\phi_1\right)}{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}\\
1-\pi_0&=\frac{ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}
\end{align}
前向き発症オッズ比の定義式 $\mathrm{{\rm OR}_{Pro}}=\frac{\pi_1}{1-\pi_1} \cdot \frac{1-\pi_0}{\pi_0}$ より、
\begin{align}
\mathrm{{\rm OR}_{Pro}}&=\frac{\delta\phi_1}{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0} \cdot \frac{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0}{ \left(1-\delta\right)\phi_0} \cdot \frac{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}{\delta \left(1-\phi_1\right)} \cdot \frac{ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}\\
&=\frac{\phi_1}{1-\phi_1} \cdot \frac{1-\phi_0}{\phi_0}\\
&=\mathrm{{\rm OR}_{Retro}}
\end{align}
$\blacksquare$
【定理】前向き仮説と後ろ向き仮説の同等性
【定理】
前向き仮説と後ろ向き仮説の同等性
Prospective Hypothesis is Equal to Retrospective Hypothesis
「前向き発症確率が等しい」という帰無仮説と「後ろ向き曝露確率が等しい」という帰無仮説は、同等である。 \begin{align} H_0:\pi_1=\pi_0\Leftrightarrow H_0:\phi_1=\phi_0 \end{align} 同様に、「前向き発症確率が等しくない」という対立仮説と「後ろ向き曝露確率が等しくない」という帰無仮説は、同等である。 \begin{align} H_1:\pi_1 \neq \pi_0\Leftrightarrow H_1:\phi_1 \neq \phi_0 \end{align}
証明：前向き仮説と後ろ向き仮説の同等性
前向き発症確率が等しい $H_0:\pi_1=\pi_0$ とき、 \begin{gather} \frac{\delta\phi_1}{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0}=\frac{\delta \left(1-\phi_1\right)}{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}\\ \frac{\delta\phi_1}{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0}-\frac{\delta \left(1-\phi_1\right)}{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)}=0\\ \frac{\delta\phi_1 \left\{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)\right\}-\delta \left(1-\phi_1\right) \left\{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0\right\}}{ \left\{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0\right\} \left\{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)\right\}}=0\\ \frac{\delta\phi_1 \left(\delta-\delta\phi_1+1-\phi_2-\delta+\delta\phi_0\right)- \left(\delta-\delta\phi_1\right) \left(\delta\phi_1+\phi_0-\delta\phi_0\right)}{ \left\{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0\right\} \left\{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)\right\}}=0\\ \frac{ \left(-\delta^2\phi_1^2+\delta\phi_1-\delta\phi_1\phi_0+\delta^2\phi_1\phi_0\right)- \left(\delta^2\phi_1+\delta\phi_0-\delta^2\phi_0-\delta^2\phi_1^2-\delta\phi_1\phi_0+\delta^2\phi_1\phi_0\right)}{ \left\{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0\right\} \left\{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)\right\}}=0\\ \frac{\delta\phi_1-\delta^2\phi_1-\delta\phi_0+\delta^2\phi_0}{ \left\{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0\right\} \left\{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)\right\}}=0\\ \frac{\delta \left(1-\delta\right) \left(\phi_1-\phi_0\right)}{ \left\{\delta\phi_1+ \left(1-\delta\right)\phi_0\right\} \left\{\delta \left(1-\phi_1\right)+ \left(1-\delta\right) \left(1-\phi_0\right)\right\}}=0 \end{gather} これが恒等式となるための $\delta=0,\delta=1$ 以外の条件は、 \begin{align} \phi_1=\phi_0 \end{align} これは、後ろ向き曝露確率が等しいという帰無仮説を示している。
同様に、前向き発症確率が等しくない $H_1:\pi_1 \neq \pi_0$ とき、後ろ向き曝露確率が等しくないという $H_1:\phi_1 \neq \phi_0$ 結果が得られる。 $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.216-218
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