本稿では、ケース・コントロール研究における曝露オッズ比の信頼区間の導出を行っています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】曝露オッズ比の信頼区間
【定理】
曝露オッズ比の信頼区間
Confidence Interval for Odds Ratio
マッチングなしのケース・コントロール研究における曝露オッズ比と対数曝露オッズ比を \begin{gather} \delta=\mathrm{OR}=\frac{\phi_1}{1-\phi_1} \cdot \frac{1-\phi_0}{\phi_0} \quad \hat{\delta}=\mathrm{\widehat{OR}}=\frac{{\hat{\phi}}_1}{1-{\hat{\phi}}_1} \cdot \frac{1-{\hat{\phi}}_0}{{\hat{\phi}}_0}\\ \theta=\log{\mathrm{OR}}=\log{ \left[\frac{\phi_1}{1-\phi_1} \cdot \frac{1-\phi_0}{\phi_0}\right]} \quad \hat{\theta}=\log{\mathrm{\widehat{OR}}}=\log{ \left[\frac{{\hat{\phi}}_1}{1-{\hat{\phi}}_1} \cdot \frac{1-{\hat{\phi}}_0}{{\hat{\phi}}_0}\right]} \end{gather} とするとき、 母集団の曝露オッズ比の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、漸近的に \begin{gather} 100 \left(1-\alpha\right)\%\ \mathrm{C.I.}= \left[\delta_L,\delta_U\right]\\ \delta_L=\mathrm{exp} \left(\theta_L\right) \quad \delta_U=\mathrm{exp} \left(\theta_U\right) \end{gather} で与えられる。 ただし、 \begin{gather} \theta_L=\hat{\theta}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \theta_U=\hat{\theta}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha}\\ {\hat{\sigma}}^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \quad \hat{\sigma}=\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\theta}\right) \end{gather}
導出
発症オッズ比と曝露オッズ比の同等性より、以下では発症オッズ比を用いて導出を行う。
標本対数オッズ比の漸近分布は、 \begin{align} \hat{\theta}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[\log{ \left(\frac{\pi_1}{1-\pi_1} \cdot \frac{1-\pi_0}{\pi_0}\right)},\frac{1}{n_1\pi_1 \left(1-\pi_1\right)}+\frac{1}{n_0\pi_0 \left(1-\pi_0\right)}\right] \end{align} 標本対数オッズ比の分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left(\hat{\theta}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \end{align} 標本対数オッズ比の漸近的な標準誤差 $\mathrm{\widehat{S.E.}} \left(\hat{\theta}\right)=\hat{\sigma}$ は、 \begin{gather} \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}} \end{gather} 母集団の対数オッズ比の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} \hat{\theta}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \le \log{\delta} \le \hat{\theta}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} ここで、スペースの節約のために以下のようにおいて、 \begin{gather} \theta_L=\hat{\theta}-\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \quad \theta_U=\hat{\theta}+\hat{\sigma} \cdot Z_{0.5\alpha} \end{gather} 逆変換を行うと、母集団の発症リスク比の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、 \begin{gather} \mathrm{exp} \left(\theta_L\right) \le \delta \le \mathrm{exp} \left(\theta_U\right) \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- マーティン・ガードナー, ダグラス・アルトマン 著, 舟喜 光一, 折笠 秀樹 共訳. 信頼性の統計学：信頼区間および統計ガイドライン. サイエンティスト社, 2001, p.62-64
- ケネス・ロスマン 著, 矢野 栄二, 橋本 英樹, 大脇 和浩 監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.238-239
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.27-28
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